几何——圆已知如图,AF为三角形ABC的角平分线,以BC为直径的圆与边AB交与点D,点E为弧BD的中点,连接CE交AB于H,AH=AC（1）求证：AC于圆O相切（2）若AC=6 AB=10 求EC的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:06:56
几何——圆已知如图,AF为三角形ABC的角平分线,以BC为直径的圆与边AB交与点D,点E为弧BD的中点,连接CE交AB于H,AH=AC（1）求证：AC于圆O相切（2）若AC=6 AB=10 求EC的长
几何——圆
已知如图,AF为三角形ABC的角平分线,以BC为直径的圆与边AB交与点D,点E为弧BD的中点,连接CE交AB于H,AH=AC
（1）求证：AC于圆O相切
（2）若AC=6 AB=10 求EC的长
几何——圆已知如图,AF为三角形ABC的角平分线,以BC为直径的圆与边AB交与点D,点E为弧BD的中点,连接CE交AB于H,AH=AC（1）求证：AC于圆O相切（2）若AC=6 AB=10 求EC的长
（1）
证明：连接BE,
∵BC为直径∴∠E=90°,
∴∠EBH+∠EHB=90°,
∵AH=AC,AF为△ABC的角平分线,
∴∠AHC=∠ACH,
∵∠AHC=∠EHB,
∴∠EHB=∠ACH,
∵点E为弧BD的中点,
∴∠ECB=∠DBE,
∴∠ECB+∠ACH=90°,
∴AC是⊙O的切线；
（2）
∵在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC,
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4
∵∠EBH=∠ECB,∠BEH=∠CEB=90°
∴△EBH∽△ECB
∴EB/EC=BH/CB=4/8=1/2
∴设EB=X EC=2X
∴在RT△BEC中,BE² +EC² =BC²
∴X² +4X² =64
5X² =64
X=（8√5）/5
EC=（8√5）/5
连接CD
∵E是中点
∴∠BCE=∠DCE
∵AC=AH
∴∠AHC=∠ACH
∴∠ACD=∠ABC
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
∴∠ACB=90°
∴AC是圆O切线
(2)延长与延长线交于点M
BC²=AB²-AC²
BC=8
CD=(ACxBC)÷AB
全部展开
连接CD
∵E是中点
∴∠BCE=∠DCE
∵AC=AH
∴∠AHC=∠ACH
∴∠ACD=∠ABC
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
∴∠ACB=90°
∴AC是圆O切线
(2)延长与延长线交于点M
BC²=AB²-AC²
BC=8
CD=(ACxBC)÷AB
CD=4.8
可证△BCE≌△MCE
则BC=MC BE=ME
BD²=BC²-CD²
BD=6.4
DM=BC-CD=3.2
BE=BM/2=(8√3)/5
CE²=BC²-BE²
CE=(4√22)/5
收起
(1)、连接CD,，∵BC是直径，∴∠HDC=90°，∠DHC+∠DCH=90°，①
∵AH=AC，∴∠DHC=∠ACH，②
∵E是BD弧的中点，∴∠DCH=∠BCH，③
将②、③代入①得∠ACH+∠BCH=∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，且C是切点。
(2)、∵△ABC是直角三角形，AC=6，AB=10，∴BC=8，
∵AF是角平分线，∴F...
全部展开
(1)、连接CD,，∵BC是直径，∴∠HDC=90°，∠DHC+∠DCH=90°，①
∵AH=AC，∴∠DHC=∠ACH，②
∵E是BD弧的中点，∴∠DCH=∠BCH，③
将②、③代入①得∠ACH+∠BCH=∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，且C是切点。
(2)、∵△ABC是直角三角形，AC=6，AB=10，∴BC=8，
∵AF是角平分线，∴FB/FC=AB/AC=10/6=5/3，
FC=BC*3/8=8*3/8=3，
AF=√(FC²+AC²)=√（3²+6²）=3√5，
又∵AH=AC，∴AF⊥HC，∠BCE=∠FAC，
连接BE,,得rt△BCE∽rt△FAC，EC/AC=BC/AF，
∴EC=AC*BC/AF=6×8/3√5=16√5/5。
收起