已知：等腰三角形ABC中,AB=AC（1）P为底边BC上任意一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时,情况又如何?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 22:47:46

已知：等腰三角形ABC中,AB=AC（1）P为底边BC上任意一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时,情况又如何?已知：等腰三角形

已知：等腰三角形ABC中,AB=AC（1）P为底边BC上任意一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时,情况又如何?
已知：等腰三角形ABC中,AB=AC
（1）P为底边BC上任意一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；
（2）若点P在底边BC延长线上时,情况又如何?

已知：等腰三角形ABC中,AB=AC（1）P为底边BC上任意一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时,情况又如何?
1、连接AP,设等腰三角形ABC的面积为S
PE垂直AB,三角形ABP的面积为：AB*PE/2
PF垂直AC,三角形ACP的面积为：AC*PF/2
三角形ABP的面积+三角形ACP的面积=三角形ABC的面积,所以：
AB*PE/2+AC*PF/2=S （1）
因为：AB=AC 代入（1） ,则：AB*（PE+PF）/2=S
所以：PE+PF=2S/AB
对于任意点P,三角形ABC的面积是定值,三角形的变AB也是定值,所以：PE+PF也是定值
2、P在BC的延长线上,连接AP,设等腰三角形ABC的面积为S,
PE垂直AB,三角形ABP的面积为：AB*PE/2
PF垂直AC,三角形ACP的面积为：AC*PF/2
若P在BC右侧的延长线上,则有：
三角形ABP的面积-三角形ACP的面积=三角形ABC的面积
即：AB*PE/2-AC*PF/2=S （1）
因为：AB=AC 代入（1） ,则：AB*（PE-PF）/2=S
所以：PE-PF=2S/AB
若P在BC左侧的延长线上,则有：
三角形ACP的面积-三角形ABP的面积=三角形ABC的面积
即：AC*PF/2-AB*PE/2=S （1）
因为：AB=AC 代入（1） ,则：AB*（PF-PE）/2=S
所以：PF-PE=2S/AB
综上：|PE-PF|=2S/AB
对于任意点P,三角形ABC的面积是定值,三角形的变AB也是定值,所以：|PE-PF|也是定值

（1）证明过程
连AP，三角形ABC面积=1/2AB*PE+1/2AC*PF=1/2AB*(PE+PF)
因为三角形ABC面积一定，所以PE+PF为定值
（2）PE-PF的绝对值为定值，证明过程
连AP，三角形ABC面积=1/2AB*PE-1/2AC*PF的绝对值=1/2AB*(PE-PF)的绝对值
因为三角形ABC面积一定，所以PE-PF的绝对值为定值能讲...

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