已知a、b、c、d是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d.方程f(x)=0有实根,并且f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 07:46:04
已知a、b、c、d是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d.方程f(x)=0有实根,并且f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)
已知a、b、c、d是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d.
方程f(x)=0有实根,并且f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根.
(1)求d的值;
(2)设a=0,求c的取值范围.
已知a、b、c、d是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d.方程f(x)=0有实根,并且f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)
(1)设r是方程f(x)的一个根,则f(r)=0.
由题意设g[f(r)]=0 ,g(0)=0,
∴d=0.
(2)∵a=0,
∴b、c是不全为0的实数,
∴f(x)=bx²+cx ,g(x)=x(bx+c),
∴g[f(r)]=x(bx²+cx)[b(bx²+cx)+c]=x(bx+c)(b²x²+bcx+c),
∴方程f(x)=0就是x(bx+c)=0,………………①
方程g[f(x)]=0就是x(bx+c)(b²x²+bcx+c)=0 ………………②
(a)当c=0时,b≠0,方程①②的根都是x=0,符合题意;
(b)当c≠0时,b=0,方程①②的跟都是x=0,符合题意;
(c)当c≠0时,方程①的根为X1=0,X2=-c/b,它们也都是方程②的根,
但它们不是b²x²+bcx+c=0的实数根.
由题意,方程b²x²+bcx+c无实数根,此方程的根的判别式△<0,
即(bc)²-4b²c<0,
∴0<c<4.
综上,c的取值范围[0,4).