已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立1.求证f(x)是周期函数2.已知f(3)=2,求f(2004)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 03:40:16
已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立1.求证f(x)是周期函数2.已知f(3)=2,求f(2004)
已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立
1.求证f(x)是周期函数
2.已知f(3)=2,求f(2004)
已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立1.求证f(x)是周期函数2.已知f(3)=2,求f(2004)
1)证明:因为,
f(x)=f(x+1)+f(x-1).(1)
f(x+1)=f(x+1+1)+f(x+1-1).(2)
由(1)+(2)得,
f(x+2)+f(x-1)=0.(3)
由(3)得,
f(x+1+2)=-f(x+1-1),
f(x+3)=-f(x),
f(x)=-f(x+3).
由(3)得,
f(x+4+2)+f(x+4-1)=0,
f(x+6)=-f(x+3)=f(x).
所以,f(x)是以6为周期的周期函数.
2)f(3)=2,
f(2004)=f(6*334)=f(0).
而,f(x)=-f(x+3),
f(0)=-f(3)=-2,
即,f(2004)=f(0)=-f(3)=-2.
由f(x)=f(x+1)+f(x-1)类比得
f(x+1)=f(x+2)+f(x)将两个式子叠加可得f(x+2)=-f(x-1)=-f(x+2-3)
即f(x)=-f(x-3)
所以f(x)是周期为6的周期函数。
f(2004)=f(0)=-f(3)=-2.
(1)证明：
因为f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以f(x+1)=f(x+2)+f(x)
两式相加整理可得f(x+2)=-f(x-1)
所以f(x+3)=-f(x)
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
所以f(x)是周期为6的函数
(2)
f(2001)=f(3+1998)=f(3+333*6)=f(3)=2
所以f(2004)=-f(2001)=-2