设n是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:(n平方)+5一定是6的倍数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 13:17:50
设n是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:(n平方)+5一定是6的倍数.
设n是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:(n平方)+5一定是6的倍数.
设n是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:(n平方)+5一定是6的倍数.
给你一个一根筋很死板但又直观简单明了的证法
用6作除数来除n,那么余数可能是0、1、2、3、4、5,n可以表示成以下六种形式中的某一种（k是整数,k≥0）：
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5
现在你就对着题目给的条件去看啦
眼睛一扫就知道6k,6k+2,6k+4是2的倍数,直接排除
6k+3是3的倍数,也不客气,排除
就剩6k+1,6k+5两兄弟了,现在开工（^2表示平方）：
(6k+1)^2+5=36k^2+12k+1+5=6(6k^2+2k+1)
(6k+5)^2+5=36k^2+60k+25+5=6(6k^2+10k+5)
两个都能被6整除啊,当然就一定是6的倍数了.
因为n不是2的倍数，所以设n=2a+1，a为自然数
n^2+5=(2a+1)^2+5=4a^2+4a+6=2(2a^2+2a+3)
所以必定为2的倍数
再据题意设n=3a+1和3a+2
当n=3a+1
n^2+5=(3a+1)^2+5=9a^2+6a+6=3(3a^2+2a+2)
当n=3a+2
n^2+5=(3a+2)^2+5=9a^2+1...
全部展开
因为n不是2的倍数，所以设n=2a+1，a为自然数
n^2+5=(2a+1)^2+5=4a^2+4a+6=2(2a^2+2a+3)
所以必定为2的倍数
再据题意设n=3a+1和3a+2
当n=3a+1
n^2+5=(3a+1)^2+5=9a^2+6a+6=3(3a^2+2a+2)
当n=3a+2
n^2+5=(3a+2)^2+5=9a^2+12a+9=3(3a^2+4a+3)
所以均为3的倍数
所以n^2+5为6的倍数
收起
高一？小学就能解.
那它就不是6的倍数. 设N=X+1. X是6的倍数.
（X+1）^2+5=6Z.
X^2+1+2X+5=6Z.
X^2+X^2/X*2=6Z-6.
此式可以看出有约数6.