对于x,y＞0 且2x+8y-xy=0 求x+y的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 23:46:35
对于x,y＞0 且2x+8y-xy=0 求x+y的最小值
对于x,y＞0 且2x+8y-xy=0 求x+y的最小值
对于x,y＞0 且2x+8y-xy=0 求x+y的最小值
2x+8y-xy=0,有y=2x/x-8 x,y属于（0,正无穷)
x+y=x+2x/(x-8)=(x+2)+16/(x-8)=x-8+16/(x-8)+10>=8+10=18
x+y最小值是18
希望可以帮到你!
x+y=t
y=t-x
2x+8y-xy=0
2x+y(8-x)=0
2x+(t-x)(8-x)=0
2x+x^2-(8+t)x+8t=0
x^2-(6+t)x+8t=0
deta>=0 (6+t)^2-32t>=0
36+12t+t^2-32t=t^2-20t+36>=0
(t-18)(t-2)>=0
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x+y=t
y=t-x
2x+8y-xy=0
2x+y(8-x)=0
2x+(t-x)(8-x)=0
2x+x^2-(8+t)x+8t=0
x^2-(6+t)x+8t=0
deta>=0 (6+t)^2-32t>=0
36+12t+t^2-32t=t^2-20t+36>=0
(t-18)(t-2)>=0
t>=18 or t<=2
从这里看,有极小值x+y=18 极大值为x+y=2
但不是最小值,题目如果是x,y>1就是最小值18
如2*1+8*1-1=9<18,所以题目有问题.
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解
由题设：x, y＞0,且2x+8y-xy=0可得
(8/x)+(2/y)=1. (上式的两边同除以xy. )
由题设及柯西不等式可得
x+y
=[(8/x)+(2/y)](x+y)≥(2√2+√2)²=18
即恒有x+y≥18.
等号仅当x=2y=12时取得
∴（x+y)min=18
2x+8y-xy=0
(x-8)(y-2)=16
(x-8+y-2)²≥4（x-8）(y-2)=64
情形1 x≥8,则y≥2 ,有x-8+y-2≥8 ，得到x+y ≥18
情形2 0
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2x+8y-xy=0
(x-8)(y-2)=16
(x-8+y-2)²≥4（x-8）(y-2)=64
情形1 x≥8,则y≥2 ,有x-8+y-2≥8 ，得到x+y ≥18
情形2 0
x+y是没有最小值的，可以无限接近0但不能等于0
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