直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:19:16
直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
直线L过抛物线y方=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,A,B到准线的射影分别为A`和B`,A`B`的中点M,|FM|=2倍根号6,|AF|=6,则|BF|=?
设直线L的斜率为k.
∵给定的抛物线方程是：y^2＝2px,∴抛物线的焦点F的坐标是（p/2,0）.
∴抛物线的准线是x＝－p/2,且直线L的方程是：y＝k（x－p/2）,即：x＝y/k＋p/2.
联立：x＝y/k＋p/2、y^2＝2px,消去x,得：y^2＝2py/k＋p^2,∴y^2－2py/k－p^2＝0.
令A、B的纵坐标分别为m、n,则：m、n是方程y^2－2py/k－p^2＝0的根,
∴由韦达定理,有：mn＝－p^2.
很明显,A′、B′的坐标分别是（－p/2,m）、（－p/2,n）.
∴A′F的斜率＝（m－0）/（－p/2－p/2）＝－m/p,
B′F的斜率＝（n－0）/（－p/2－p/2）＝－n/p.
∴A′F的斜率×B′F的斜率＝mn/p^2＝（－p^2）/p^2＝－1.
∴A′F⊥B′F,而M是A′B′的中点,∴｜A′B′｜＝2｜FM｜＝4√6.
由抛物线定义,有：｜B′B｜＝｜BF｜、｜A′A｜＝｜AF｜＝6.
在直角梯形A′B′BA中,A′A⊥A′B′、B′B⊥A′B′,
∴（｜A′A｜－｜B′B｜）^2＋｜A′B′｜^2＝｜AB｜^2,
∴（6－｜BF｜）^2＋（4√6）^2＝（｜AF｜＋｜BF｜）^2＝（6＋｜BF｜）^2,
∴（6＋｜BF｜）^2－（6－｜BF｜）^2＝（4√6）^2＝16×6,
∴［（6＋｜BF｜）＋（6－｜BF｜）］［（6＋｜BF｜）－（6－｜BF｜）］＝16×6,
∴12×2｜BF｜＝16×6,
∴｜BF｜＝4.