平面上10个两两相交的圆最多可以将平面分成几份?10个三角形呢?长方形呢？5个圆和1条直线呢？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 20:51:02
平面上10个两两相交的圆最多可以将平面分成几份?10个三角形呢?长方形呢？5个圆和1条直线呢？
平面上10个两两相交的圆最多可以将平面分成几份?10个三角形呢?
长方形呢？5个圆和1条直线呢？
平面上10个两两相交的圆最多可以将平面分成几份?10个三角形呢?长方形呢？5个圆和1条直线呢？
n个圆：n*(n-1)+2个区域.
n个长方形：4*n*(n-1)+2个区域.
n个三角形：3*n*(n-1)+2个区域.
5个圆和一条直线,32个区域.
首先由欧拉公式,对平面上的封闭曲线而言,曲线的交点数-线段数+区域数=2,而对于封闭曲线而言,其上的点数=其上的线段数.又由于我们为了使其分割的区域数达到最大,则每个交点仅为两条曲线的交点（即排除三线共点的情形）,于是,平面上的线段数=交点数的两倍,于是我们得到公式：区域数=2+交点数.故来统计交点数.
简单的观察可以发现,我们可以使平面上的N个圆相互两两相交,作图方法看图片所示.因此,对于平面上N个圆,其交点个数最多为 2*[N(N-1)/2]=N(N-1)
于是,N个圆最多将平面分成N(N-1)+2个区域.
对于三角形,长方形的情形,同样利用封闭曲线的欧拉定理,在没有三线共点的前提下,我们总是有区域数等于交点数+2,而平面上的N个矩形可以两两相互有8个交点.N个三角形可以两两相互有六个交点,于是分别有
长方形：8（N(N-1)/2）+2=4N(N-1)+2
三角形：6(N(N-1)/2)+2=3N(N-1)+2
而对于有1条直线的情形,虽然我们不能用封闭曲线的欧拉定理来做,但是,我们可以通过一定的反演变换,发现直线和圆是等价的,而这种变换不改变平面上的区域个数.于是对于一条直线和N个圆的情形等价于N+1个圆.但如果两条或两条以上直线这样的做法可能会有一些问题.因此：
N个圆和一条直线：N(N+1)+2
作为推论,你的问题的答案是：
10个两两相交的圆：92个
10个三角形：272个
10个长方形：362个
5个直线一个圆：32个