三重积分题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:40:58
三重积分题,三重积分题, 三重积分题,方法一、采用偏微分方法定义域D内的极大值点应满足：z''(x)=2xy(4-x-y)-x²y=0z''(y)=x²(4-x-y)-x&#
三重积分题,
三重积分题,
三重积分题,
方法一、采用偏微分方法
定义域D内的极大值点应满足：
z'(x) = 2xy(4-x-y) - x²y =0
z'(y) = x²(4-x-y) - x²y = 0
整理得：
xy(8-2x-3y) = 0;
y²(4-2x-y) = 0;
xy =0 ;与 y²=0为域D边界,暂不考虑；
解得：
x=2；y=1；
代入得 z = x²y(4-x-y) = 4
将域D的边界条件分别代入：
x=0：z = x²y(4-x-y) = 0；
y=0：z = x²y(4-x-y) = 0；
x+y = 6时 z = x²y(4-x-y) z ≤ (x³-4x²)²/(4x²) = (x²-4x)²/4 = [(x-2)²-4]²/4
显然 当 x=2 时,不等式右侧有最大值 4；
即 x=2时,z 有最大值4；
检验边界条件：
x=0：z = x²y(4-x-y) = 0；
y=0：z = x²y(4-x-y) = 0；
x+y = 6时 z = x²y(4-x-y)