j附带例题

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符号思想


用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容,这就是符号思想.符号思想是将所有的数据实例集为一体,把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆,便于运用.把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式,有一个从具体到表象再抽象符号化的过程.


用符号来体现的数学语言是世界性语言,是一个人数学素养的综合反映.


在数学中各种量的关系,量的变化以及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式来表达大量的信息,如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；又如在“有余数的除法”教学中,最后出现一道思考题：“六一”联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室.你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球,则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的.这是符号思想的具体体现.
化归思想


化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法,其基本思想是：把甲问题的求解,化归为乙问题的求解,然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解.一般是指不可逆向的“变换”.它的基本形式有：化难为易,化生为熟,化繁为简,化整为零,化曲为直等.如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形,然后计算出各部分面积的和或差,均能使学生体会化归法的本质.
分解思想


分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题,分解出若干便于求解的范围,分解出若干便于层层推进的解题步骤,然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题的目的的一种思想方法.如在五年级《解决问题的策略》教学中“倒退着想”的解题策略就体现了这种思想.
转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略,是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,这里的变换是可逆的双向变换.在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略. 对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论;转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答.如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步.


如计算：2.8÷113÷17÷0.7,直接计算比较麻烦,而分数的乘除运算比小数方便,故可将原问题转换为：28/10×3/4×7/1×10/7,这样,利用约分就能很快获得本题的解
分类思想


分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准.如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数.又如三角形可以按边分,也可以按角分.不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念.对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构
归纳思想


数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式,这就是著名的结构归纳法
类比思想


数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想,它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题.类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁,从而可以激发起学生的创造力,正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身,它们是获得发现的伟大源泉.”


如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习


又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b,通过类比,三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2.类似的,圆柱体体积公式为底面积×高,那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷3
假设思想


假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题.有些题目数量关系比较隐蔽,难以建立数量之间的联系,或数量关系抽象,无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,最后找到正确答案的一种思想方法.假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路.
比较思想


人类对一切事物的认识,都是建筑在比较的基础上,或同中辨异,或异中求同.俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础.”小学生学习数学知识,也同样需要通过对数学材料的比较,理解新知的本质意义,掌握知识间的联系和区别.


在教学分数应用题中,教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题的途径.
极限思想


事物是从量变到质变,极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变.


教学“圆的面积和周长”中,“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路,在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态,这样不仅使学生掌握公式,还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想.


战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”充满了极限思想.古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的,他首先作圆内接正多边形,当多边形的边数越多时,多边形的周长就越接近于圆的周长.刘徽总结出：“割之弥细,所失弥少.割之又割以至于不可割,则与圆合体无所失矣.”正是用这种极限的思想,刘徽求出了π,即“徽率”.


现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时,教师可让学生体会自然数是数不完的,奇数、偶数的个数有无限多个,让学生初步体会“无限”思想.在循环小数这一部分内容,在教学 1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数,它的小数点后面的数字是写不完的,是无限的.在直线、射线、平行线的教学时,可让学生体会线的两端是可以无限延长的.
演绎思想：


演绎也是理智的活动,但是和直观不同,它们不是理智的单纯活动,必须先假定了某些真理（或定义)之后,然后再凭借这些定义推出一些结论.譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后,可以推出一个三角形内角的总和等于两直角之和.所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则.而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题.演绎并不要求像直观所拥有的那种直接呈现出来的证明,它的确实性在某种程度上宁可说是记忆赋予它的.它通过一系列的间接论证就能得出结论,这就像我们握着一根长链条的第一节就可以认识它的最后一节一样.


这就是说,直观是发明的基本原则,演绎是导致最基本的结论.不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的,因为由同一个 原则往往会演绎出不同的结论,所以应当有另一个方法来纠正它.这个纠正的方法就是经验,即所谓的诉诸事实.总之,直观就是找到最简单、最无可怀疑、最无须辩护的人类知识元素,即发现最简单和最可靠的观念或原理.然后对它们进行演绎推理,导出全部确实可靠的解决方案.


例如数学定理证明就是一种演绎推理
模型思想


是指对于现实世界的某一特定对象,从它特定的生活原型出发,充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程,得到简化和假设,它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法.


培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所追求的目标.


数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法,而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法.用数学方法解决某些实际问题,通常先把实际问题抽象成数学模型.所谓数学模型,是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式.按广义的解释,从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型 .但按狭义的解释,只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构,才叫数学模型.比如根据具体问题中的数量关系,建立数学模型,列出方程进行求解.
对应思想:


对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当.对应思想可理解为两个集合元素之间的联系的一种思想方法.在小学数学教学中渗透对应思想,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.


“对应”的思想由来已久,比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”,将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”；随着学习的深入,我们还将“对应”扩展到对应一种形式,对应一种关系,等等.


再如：数轴上的点与实数之间的一一对应,函数与其图象之间的对应.另外,在“多和少”这一课中, 一个茶杯盖与每一个茶杯对应,直观看到“茶杯与茶杯盖相比,一个对一个,一个也不多,一个也不少”,我们就说茶杯与茶杯盖同样多.使学生初步接触一一对应的思想,初步感知两个集合的各元素之间能一一对应,它们的数量就是“同样多”. “对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用.
集合思想:


把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.通俗地说就是:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合


集合思想的特征:


（1）确定性：给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 就是说按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可


（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.


根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类：


（1）把不含任何元素的集合叫做空集.


（2）含有有限个元素的集合叫做有限集.


（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集.


集合的表现形式：列举法；框图法；描述法.


比如:能被2整除的数为一个集合.
数形结合思想：


就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义又揭示其几何意义,使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.数形结合的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,如四年级数学下册P60分数的基本性质就是借助图形的生动和直观来阐明分数中分子和分母相互变化的关系；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.


在小学教学中,它主要表现在把抽象的数量关系,转化为适当的几何图形,从图开的直观特征发现数量之间存在的联系,以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的,使问题简捷地得以解决.通常是将数量关系转化为线段图,这是基本的、自然的手段.如一年级认数时数轴与对应点之间的关系.


对于某些题,如线段图不能清晰地显示其数量关系,则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形.如六年级数学下册P72试一试,计算:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通过正方形图形来解决.


在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力.抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力.
统计思想


在小学数学中增加统计与概率课程的意义在于形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的能力、发展在现实情境中解决实际问题的能力.统计与概率初步知识的构成主要有如下一些基本内容：第一,知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；第二,学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力；第三,会解读和制作一些简单的统计图表；第四,认识一些随机现象,并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性.　　　
系统思想


系统思想是由若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体.系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点,从系统与要素之间、要素与要素之间,以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象,以得出研究和解决问题的最佳方案.


系统是由相互联系,相互依赖,相互制约和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位,系统内各要素之间是相互联系,相互影响的有机整体,如果一个要素发生变化,其他要素也会相应变化.


例如：应用题教学中的“购物问题”.物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了一个系统.数量不变,单价提高,总价变大；单价不变,数量增加,总价变大；单价不变,总价增加,数量变多.“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：


单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价


把几个概念通过联系来整体把握,由具体到抽象,再由抽象到具体,发现其规律,更好地理解和掌握概念及其相互关系.这些要素不是孤立的、零散的,而是有联系的,有影响的,在教学过程中要引导学生学会理解概念,找到联系,发现规律,只有这样才能更好地掌握所学知识,做到融会贯通,事半功倍.
三、几点说明


中国数学科学方法论研究交流中心主任周春荔教授在其习作中说：


习惯上人们常用数学思想来指称某些具有重要意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果.


数学思想和数学方法到底有什么区别?一般来说,数学思想是人们对数学内容的本质认识,是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括,属于对数学规律的理性认识的范畴,而数学方法则是解决数学问题的手段,具有“行为规则”的意义和一定的可操作性,同一个数学成果,当用它去解决别的问题时,就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时,则称之为思想.


要将数学思想和数学方法严格区分开来是困难的,因此,人们常常对这两者不加区分,而统称为数学思想方法,这样会显得更为方便.