数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.

数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.
数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)
注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.

数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.
对于第一步,实际上就相当于一元一次方程.
a(4)=2a(3)+2^4-1 解出 a(3)=33
余此类推 a(2)=13,a(1)=5
对于第二步,可对递推公式 a(n)=2a(n-1)+2^n-1 逐层削减,把 a(n-1)换成 a(n-2),再把a(n-2)换成a(n-3),……,最后一直到 a(1).具体过程如下：
a(n)=2a(n-1)+2^n-1
=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1
=2^2a(n-2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^2[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3a(n-3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3[2a(n-4)+2^(n-3)-1]+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^4a(n-4)+(2^n-2^3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
…………
由于 1=n-(n-1),所以可用 n-1、n-2替换上式中的4、3
上面式子最后削减到a1时的表达式为
a(n)=
2^(n-1)*a(1)+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-3)]+……+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)]
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)*5+(2n-3)*2^(n-1)+1
=(n+1)*2^n+1
此即数列的同项公式 (其中*代表乘号)
以n=1、2、3、4代入验证,与前面求出的 5、13、33、81一致.
尽管通项公式求出,但求S(n)还不是显而易见的.下面求 S(n).
重新回答题中给出的 a(n)=2a(n-1)+2^n-1
可转化为 a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
因此
a(2)-a(1)=a(1)+2^2-1
a(3)-a(2)=a(2)+2^3-1
a(4)-a(3)=a(3)+2^4-1
……
a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
上面各等式相加.得到
a(n)-a(1)=[a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n-1)]+[2^2+2^3+……+2^n]-(n-1)*1
=S(n-1)+4*[2^(n-1)-1]-(n-1)
=S(n-1)+2^(n+1)-n-3
将a(n)的表达式代入其中,得到前n-1项的和
S(n-1)=(n+1)*2^n+1-5-2^(n+1)+n+3
=(n-1)*2^n+n-1
以n替换n-1,得到前n项和的表达式：
S(n)=n*2^(n+1)+n
以n=1、2、3、4代入验证得到
S(1)=5、S(2)=18、S(3)=51、S(4)=132,与实际结构一致.所求表达式正确!
这题好麻烦的呀.

数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列a(n)的前n项和S(n)
注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表示2的n次方,a(4)表示数列a(n)的第四项.
按照你的注释将2^n-1理解为(2^n)-1,而不是2^(n-1)
1)求a(n)的前3项
81=a(4)=2a(3)+2^4-1-->a(3)...

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数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列a(n)的前n项和S(n)
注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表示2的n次方,a(4)表示数列a(n)的第四项.
按照你的注释将2^n-1理解为(2^n)-1,而不是2^(n-1)
1)求a(n)的前3项
81=a(4)=2a(3)+2^4-1-->a(3)=33
33=a(3)=2a(2)+2^3-1-->a(2)=13
13=a(2)=2a(1)+2^2-1-->a(1)=5
2)先求通项公式
a(n)=2a(n-1)+2^n-1=
=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1=
=(2^2)a(n-2)+2*2^(n-1)-2+2^n-1=
=(2^2)a(n-2)+2^(n+1)-(1+2)=
=(2^2)[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+2*2^n-(1+2)=
=(2^3)a(n-3)+2^n-2^2+2*2^n-(1+2)=
=(2^3)a(n-3)+3*2^n-(1+2+2^2)=
=……………………………………=
=[(2^(n-1)]a(1)+(n-1)2^n-[1+2+2^2+…+2^(n-2)]=
=5*2^(n-1)+(n-1)2^n-[2^(n-1)-1]=
=5*2^(n-1)+(n-1)2^n-2^(n-1)+1=
=[5+2(n-1)-1]2^(n-1)+1=
=(n+1)2^n+1
我有事了，有空再回来求S(n)
已经有人求出了S(n),是利用了递推式。如果没有递推式，只有通项，可用下述一般方法
S(n)=(2*2^1+1)+(3*2^2+1)+(4*2^2^3+1)+…+[(n+1)2^n+1]=
=2*2^1+3*2^2+4*2^3+(n+1)2^n+n
S(n)=2*2^1+3*2^2+4*2^3+(n+1)2^n+n…………………………(1)
2S(n)=2*2^2+3*2^3+4*2^4+…+(n+1)2^(n+1)+2n……………(2)
(2)-(1)-->
S(n)=2*2^1+{(2-3)2^2+(3-4)2^3+…+[n-(n+1)]2^n}+(n+1)2^(n+1)+(2n-n)=
=(n+1)2^(n+1)-4[1+2+2^2+…+2^(n-2)]+n+4=
=(n+1)2^(n+1)-4[2^(n-1)-1]+n+4=
=(n+1)2^(n+1)-2^(n+1)-4+n+4=
=[(n+1)-1]2^(n+1)+n=
=n2^(n+1)+n=
=n[2^(n+1)+1]

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