已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3减1的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=2n减1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 00:42:50
已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3减1的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=2n减1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.
已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3减1的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=2n减1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.
已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3减1的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=2n减1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.
（1）∵a2是a1和a3-1的等差中项
∴a1+(a3-1)=2a2
1+(a3-1)=2a2
a3=2a2
q=2
∴an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)
（2）∵bn=（2n-1）an
∴bn=（2n-1）*2^(n-1)
∴a1=1*2^0,a2=3*2^1,a3=5*2^2,……,an=(2n-1)*2^(n-1)
∴Sn=1+3*2+5*2^2+……+(2n-1)*2^(n-1)……①
2*Sn= 1*2+3*2^2+……+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n……②
②-①式得：
Sn=(2n-1)*2^n-(2^2+2^3+……+2^n)-1
=(2n-1)*2^n-4[1-2^(n-2)]/(1-2)-1
=(2n-1)*2^n-4-2^n-1
=2(n-1)*2^n-5
（1）∵a2是a1和a3-1的等差中项
∴a1+(a3-1)=2a2
1+(a3-1)=2a2
a3=2a2
q=2
∴an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)
（2）∵bn=（2n-1）an
∴bn=（2n-1）*2^...
全部展开
（1）∵a2是a1和a3-1的等差中项
∴a1+(a3-1)=2a2
1+(a3-1)=2a2
a3=2a2
q=2
∴an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)
（2）∵bn=（2n-1）an
∴bn=（2n-1）*2^(n-1)
∴a1=1*2^0，a2=3*2^1，a3=5*2^2，……，an=(2n-1)*2^(n-1)
∴Sn=1+3*2+5*2^2+……+(2n-1)*2^(n-1)……①
2*Sn= 1*2+3*2^2+……+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n……②
②-①式得：
Sn=(2n-1)*2^n-(2^2+2^3+……+2^n)-1
=(2n-1)*2^n-4[1-2^(n-2)]/(1-2)-1
=(2n-1)*2^n-4-2^n-1
=2(n-1)*2^n-5
收起
a1=1 a2=q a3=q^2
所以 2q=1+q^2-1 q=2
所以 an=2^(n-1)
bn=2n-1+2^(n-1)
Sn=(n(1+2n-1))/2+(1*(1-2^n))/(1-2)=(n^2)-(2^n)-1