如果A,B,C是三个质数,而且A-B=B-C=20,那么3A+2B+C=

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 03:19:17
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如果A,B,C是三个质数,而且A-B=B-C=20,那么3A+2B+C=
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如果A,B,C是三个质数,而且A-B=B-C=20,那么3A+2B+C=
178,A,B,C分别为43,23,3.

∵A-B=B-C=20,∴C、B、A是以20为公差的等差数列,∴A-C=40。
显然,20、40都不是3的倍数,∴A-B、B-C、A-C都不是3的倍数。······①
得:
C、B、A中有一者且仅有一者是3的倍数。
[下面证明:C、B、A中有一者且仅有一者是3的倍数。]
利用反证法:假设A、B、C都不是3的倍数。
若一个整数不是3的倍数,则一定可表示...

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∵A-B=B-C=20,∴C、B、A是以20为公差的等差数列,∴A-C=40。
显然,20、40都不是3的倍数,∴A-B、B-C、A-C都不是3的倍数。······①
得:
C、B、A中有一者且仅有一者是3的倍数。
[下面证明:C、B、A中有一者且仅有一者是3的倍数。]
利用反证法:假设A、B、C都不是3的倍数。
若一个整数不是3的倍数,则一定可表示成:3k+1,或3k-1,其中k是整数。
由抽屉原则可知:
C、B、A中定有两者为(3a+1)、(3b+1);或(3a-1)、(3b-1),其中a、b都是整数。
这样:(3a+1)-(3b+1)=3(a-b),或(3a-1)-(3b-1)=3(a-b)。
得:A-B、B-C、A-C有一者是3的倍数。······②
①、②的矛盾说明:“A、B、C都不是3的倍数”的假设是错误的,∴A、B、C中有一者是3的倍数。
很明显,当A、B、C不只一者为3的倍数时,A-B、B-C、A-C有一者是3的倍数。
∴C、B、A中有一者且仅有一者是3的倍数。
∵A、B、C都是质数,又A、B、C中有一者且仅有一者是3的倍数,
∴A、B、C中有一者且仅有一者是3。
自然,C=3,否则,C就是负数。
∵C=3,∴B=3+20=23、A=B+20=23+20=43,
∴3A+2B+C=4A+2C=4×43+2×3=172+6=178。

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