2010广东省初中数学竞赛初赛29题设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则RT△ABC面积的最大值是( )A.1 B.√3 C.2 D.3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 14:39:39
2010广东省初中数学竞赛初赛29题设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则RT△ABC面积的最大值是( )A.1 B.√3 C.2 D.3
2010广东省初中数学竞赛初赛29题
设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则RT△ABC面积的最大值是( )
A.1 B.√3 C.2 D.3
2010广东省初中数学竞赛初赛29题设a,b,c为实数,且a≠0,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形,则RT△ABC面积的最大值是( )A.1 B.√3 C.2 D.3
首先 C肯定是直角顶点 且A,B分在y轴两边
顶点在y=-1上 得（4ac-b^2)/4a=-1 (a>0)
△=4a
由韦达定理：AB= |x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√△/a=2√(a)/a
注意到两根异号
由射影定理c^2=-x1x2=-c/a 得ac=-1
OC=|c|=1/a
全部下面得
RT△ABC面积S=AB*OC/2=√(a)/a^2=1/√(a^3)
下面求a的范围
4a=△=b^2-4ac=b^2+4>=4
因此a>=1
a^3>=1
√(a^3)>=1
1/√(a^3)
最大值是1 当两直角边相等时RT△ABC面积最大，此时，圆的半径为1，直径为2，所以RT△ABC面积为1，具体见下图
C.2
本人惠州的数学老师，要想三角形ABC为直角三角形且面积最大，你可以这样理解，当a,b,c确定后，线段AB的长度值是固定的，那么OC就是高了，高的最大值就是1，所以当高最大时，面积最大，当抛物线顶点在y的负半轴时，高最大为1，由抛物线的对称性可知三角形ABC可以为等腰直角三角形，AB=2,所以面积最大为1,选A是对的。参考答案也是A...
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本人惠州的数学老师，要想三角形ABC为直角三角形且面积最大，你可以这样理解，当a,b,c确定后，线段AB的长度值是固定的，那么OC就是高了，高的最大值就是1，所以当高最大时，面积最大，当抛物线顶点在y的负半轴时，高最大为1，由抛物线的对称性可知三角形ABC可以为等腰直角三角形，AB=2,所以面积最大为1,选A是对的。参考答案也是A
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