锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证：存在唯一一组解,使得△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 08:27:28
锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证：存在唯一一组解,使得△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证：存在唯一一组解,使得△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证：存在唯一一组解,使得△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
证明：连AD,BE,CF
因为△AEF∽△ABC
所以AE:AB=AF:AC,即
AF:AE=AC:AB
因为∠FAC=∠EAB
所以有△AFC∽△AEB,∠ACF=∠ABE
同理∠BAD=∠FCD,∠CAD=∠CBE
因为∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°
所以2（∠BAD+∠ABE+∠CBE)=180°,∠BAD+∠ABE+∠CBE=90°
即∠BAD+∠ABC=90°,∠ADB=90°,AD⊥BC
同理BE⊥AC,CF⊥AB
所以只存在唯一一组解（要是小题,记住结论就行了,反过来也成立）
因△AEF∽△ABC，所以E,F,B,C 四点共圆
所以∠BEF=∠BCF,
又△CDE∽△CAB.
所以A,B,D,E,四点共圆
所以∠BED=∠BAD
△BDF∽△BAC
A,C,D,F,四点共圆
所以∠BCF=∠BAD
所以∠BEF=∠BED
又△AEF∽△ABC
所以∠AEF=∠B
△CDE∽△CAB...
全部展开
因△AEF∽△ABC，所以E,F,B,C 四点共圆
所以∠BEF=∠BCF,
又△CDE∽△CAB.
所以A,B,D,E,四点共圆
所以∠BED=∠BAD
△BDF∽△BAC
A,C,D,F,四点共圆
所以∠BCF=∠BAD
所以∠BEF=∠BED
又△AEF∽△ABC
所以∠AEF=∠B
△CDE∽△CAB
∠CED=∠B
∠CED=∠AEF
∠CED+∠BED=∠AEF+∠BEF
∠BEC=∠BEA=90`
所以BE垂直AC
E点确定
同理其他几点也是定的
证毕
收起
证明：连AD,BE,CF
因为△AEF∽△ABC
所以AE:AB=AF:AC,即
AF:AE=AC:AB
因为∠FAC=∠EAB
所以有△AFC∽△AEB,∠ACF=∠ABE
同理∠BAD=∠FCD,∠CAD=∠CBE
因为∠ABC+∠BCA+∠CAB=180...
全部展开
证明：连AD,BE,CF
因为△AEF∽△ABC
所以AE:AB=AF:AC,即
AF:AE=AC:AB
因为∠FAC=∠EAB
所以有△AFC∽△AEB,∠ACF=∠ABE
同理∠BAD=∠FCD,∠CAD=∠CBE
因为∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°
所以2（∠BAD+∠ABE+∠CBE)=180°，∠BAD+∠ABE+∠CBE=90°
即∠BAD+∠ABC=90°，∠ADB=90°，AD⊥BC
同理BE⊥AC,CF⊥AB
所以只存在唯一一组解
收起