1)在圆形O中,EF是直径,MN是圆形O上的一条弦（EF不平行于MN）,且EF=10,MN=8,则E,F两点到直线MN的距离之和为什么?2）△ABC的三个顶点都在圆形O上,I是△ABC角平分线的交点,且AI的延长线交圆形O于点D,

1)在圆形O中,EF是直径,MN是圆形O上的一条弦（EF不平行于MN）,且EF=10,MN=8,则E,F两点到直线MN的距离之和为什么?2）△ABC的三个顶点都在圆形O上,I是△ABC角平分线的交点,且AI的延长线交圆形O于点D,
1)在圆形O中,EF是直径,MN是圆形O上的一条弦（EF不平行于MN）,且EF=10,MN=8,则E,F两点到直线MN的距离之和为什么?
2）△ABC的三个顶点都在圆形O上,I是△ABC角平分线的交点,且AI的延长线交圆形O于点D,求证：BD=CD=DI
3）梯形ABCD的四个顶点都在圆形O上,AB//CD,圆形O的半径为4,AB=6,CD=2,求梯形ABCD的面积

1)在圆形O中,EF是直径,MN是圆形O上的一条弦（EF不平行于MN）,且EF=10,MN=8,则E,F两点到直线MN的距离之和为什么?2）△ABC的三个顶点都在圆形O上,I是△ABC角平分线的交点,且AI的延长线交圆形O于点D,

                                                 图1
如图1圆O,EF为直径等于10,MN为弦长为8,EF与MN不平行.
过E点做MN垂线交MN延长线于H,过F点做MN垂线交MN延长线于K点.
设A为MN的中点,连接OA,OM,ON.
∵MN为圆O上的弦,A为MN的中点
∴OA垂直平分MN
∵EH⊥MN,FK⊥MN
∴EH//FK//OA
又∵OE=OF
∴四边形FKHE为梯形,OA为要上的中位线
∴EH+FK=2OA
∵OA²=OM²-AM²,OM=EF/2=5,AM=MN/2=4
∴OA=3
∴EH+FK=2OA=6
∴E,F两点到直线MN的距离之和为6 .
 

                                                   图2
如图2圆O,△ABC内接于圆O,I为三角形角平分线交点,AI延迟线交圆与D点,连接CI.
∵I是角平分线交点
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC/2
∴BD=CD(同圆中,弦长相等对应的圆周角相等,反之亦然)    ⑴
∴∠CBD=∠BCD=∠BAC/2
∵∠ICB=∠ACI=∠ACB/2
∴∠ICD=∠ICB+∠BCD=∠BAC/2+∠ACB/2=(∠BAC+∠ACB)/2  ①
∵弦AC对应的两个圆周角∠ABC与∠ADC相等,即∠ABC=∠IDC
∵∠ABC,∠BAC,∠ACB同在一个三角形中
∴①式变为：∠ICD=(180°-∠ABC)/2=(180°-∠IDC)/2,即∠IDC=180°-2∠ICD,也即∠ICD=∠CID,△IDC为等腰三角形
∴DI=CD  ⑵
∴BD=CD=DI
 

                                                      图3
如图3所示：
∵CD和AB均为圆中的弦,且AB//CD
∴连接AB中点F和CD中点E,EF经过圆心O,且EF⊥AB,即EF为梯形的高
∴当AB与CD位于圆心同一侧是,梯形高h=OE+OF；  ①
    当AB与CD位于圆心两侧是h=OE-OF  ②
∵OE²=OD²-ED²,OF²=OB²-FB²,OD=OB=R=4,ED=CD/2=1,FB=AB/2=3
∴OE=√15,OF=√7
∴①  h=√15+√7  ②h=√15-√7
∴S=h*(2+6)/2=4*(√15+√7)   ①
           S=4*(√15+√7)  ②

（1）所求即为中位线（求圆心到MN的距离的两倍）
过O作MN的垂线,垂足为P，连接OM，
根据勾股定理即得OM^2=OP^2+PM^2
求出OP，圆心到MN距离为√(5^2-4^2)=3
EF到MN距离为3*2=6
（2）证明：∵A、B、D、C共圆，又∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC。
∵A、B、D、C共圆，
∴∠DBC＝∠CAD＝...

全部展开

（1）所求即为中位线（求圆心到MN的距离的两倍）
过O作MN的垂线,垂足为P，连接OM，
根据勾股定理即得OM^2=OP^2+PM^2
求出OP，圆心到MN距离为√(5^2-4^2)=3
EF到MN距离为3*2=6
（2）证明：∵A、B、D、C共圆，又∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC。
∵A、B、D、C共圆，
∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，又∠CBI＝∠ABI，
∴∠DBC＋∠CBI＝∠BAD＋∠ABI，
∴∠DBI＝∠BAD＋∠ABI＝∠BID，
∴DB＝DI。
∵DB＝DC、DB＝DI，
∴DB＝DC＝DI。
（3）过圆心O作OM⊥AB于M，并延长交CD于N，连接OA、OC
∵OM⊥AB
∴AM＝BM＝AB/2＝3 （垂径分弦）
∴OM＝√（AO²-AM²）＝√（16-9）＝√7
∵AB∥CD
∴ON⊥CD
∴CN＝CD/2＝1
∴ON＝√（CO²-CN²）＝√（16-1）＝√15
当AB、CD位于圆心O的两侧时：
MN＝ON+OM＝√15+√7
S梯形＝（AB+CD）×MN/2＝8×（√15+√7）/2＝4（√15+√7）
当AB、CD位于圆心O的一侧时：
MN＝ON-OM＝√15-√7
S梯形＝（AB+CD）×MN/2＝8×（√15-√7）/2＝4（√15-√7）

收起

1).作OG⊥MN于G,则G为MN的中点，连ON,

则ON为半径=5，GN=4,于是OG=3.

    作FQ⊥MN并交MN的延长线于Q, 作EP⊥MN并交

NM的延长线于P,则FQ、EP分别为F、E到MN的距离。

而它们也是直角梯形EPQF的上下底，而OG则是该梯形

的中位线，于是有:FQ+EP=2OG=2*3=6.即所求的距离之和为6。   

2）∵AD平分角A,∴ ∠CAD=∠BAD. ∴CD弧=BD弧，所以，CD=BD.

延长CI与圆交于E,则∠ACE=∠BCE,,,,,, ①  

又∠BAD=∠BCD,,,,,,②,等式两边分别相加,右边得：

∠BCD+∠BCE=∠DCI.

左边得：∠BAD+∠ACE=∠CAD+∠ACI=∠CAI+∠ACI=∠CID.

从而有：∠DCI=∠DIC, ∴CD=DI,即BD=CD=DI.

3)作OE⊥AB于E,连OB,则在直角三角形OEB中，

OB=4,BE=3,于是OE=√(4^2-3^2)= √7.

作OF⊥CD于F,连OD,则在直角三角形ODF中，

OD=4,DF=1,于是OF=√(4^2-1^2)= √15.

而EF=OE+OF=√7+√15是梯形ABCD的高，所以

梯形ABCD的面积=（6+2）*（√7+√15）/2=4(√7+√15)