如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.（1）求证：PA⊥BD（2）求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 10:08:43
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.（1）求证：PA⊥BD（2）求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.
（1）求证：PA⊥BD
（2）求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.（1）求证：PA⊥BD（2）求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
证明：
1）
RT△ABO和RT△BCD中：
∠ABO=∠BCD=90°
tan∠BAO=BO/AB=(BC/2)/AB=(AB/2)/AB=1/2
tan∠CBD=CD/BC=1/2=tan∠BAO
∠BAO=∠CBD
所以：RT△ABO∽RT△BCD（角角）
因为：∠CBD+∠DBA=90°
所以：∠BAO+∠DBA=90°
所以：∠AEB=90°
所以：BD⊥AO………………（1）
等腰三角形PBC中,点O是底边BC上的中点
所以：PO是BC边上的中垂线
所以：PO⊥BC
因为：平面PBC⊥平面ABCD
所以：PO⊥平面ABCD
所以：PO⊥BD………………（2）
由（1）和（2）知道：BD⊥平面PAO
所以：PA⊥BD
2）
连接PE,则PE是PD在平面PAO上的投影线
所以：∠DPE是DP与平面PAO所成的夹角
因为：BD⊥平面PAO
所以：BD⊥PE
所以：sin∠DPE=DE/PD
与上述1）中类似,可以证明RT△BEO∽RT△BCD
BO/BD=EO/CD=BE/BC
BO=BC/2=1,BD=√(1^2+2^2)=√5,CD=1
解得：EO=√5/5,BE=2√5/5
所以：DE=BD-BE=3√5/5
等腰三角形PBC中：PB=PC=BC=2,为正三角形,PO=√3
RT△POE中：PE=√(PO^2+EO^2)=√(3+1/5)=4√5/5
RT△PED中：PD=√(PE^2+DE^2)=√(16/5+9/5)=√5
所以：sin∠DPE=DE/PD=(3√5/5)/√5=3/5
所以：直线PD与平面PAO所成角的正弦值为3/5