求极限与定积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:06:05
求极限与定积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
求极限与定积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
求极限与定积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
第一题 因为x~arctanx （x->0）,所以把分母换成x²,然后用洛比达法则上下求导得
该极限=lim2xcos(x²)²/2x=1 (x->0)
第二题 被积函数在[-1,0]时值为0,所以只需求[0,1]上的积分 ,用分部积分得
∫2xe^(-x)dx=-∫2xde^(-x)=-2xe^(-x)[0,1]+2∫e^(-x)dx=-2e^(-1)+2(-e^(-x))[0,1]
=-2e^(-1)-2e^(-1)+2=2-4e^(-1)
解:
(1)
∫[0,x^2]cost^2dt=1/2∫[0,x^2](1+cos2t)dt=1/2(t|[0,x^2]+1/2∫[0,x^2]cos2td2t]
=1/2(x^2+1/2sin2t|[0,x^2])
=1/2(x^2+1/2sin2x^2)
原极限=1/2lim(x→0)(x^2+1/2sin2x^2)/x^2
=1/2lim(x→...
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解:
(1)
∫[0,x^2]cost^2dt=1/2∫[0,x^2](1+cos2t)dt=1/2(t|[0,x^2]+1/2∫[0,x^2]cos2td2t]
=1/2(x^2+1/2sin2t|[0,x^2])
=1/2(x^2+1/2sin2x^2)
原极限=1/2lim(x→0)(x^2+1/2sin2x^2)/x^2
=1/2lim(x→0)1+1/4lim(x→0)2x^2/x^2
=1/2+1/2=1
(2)当x∈[-1,0]时
原积分=∫[-1,0][-x+x]e^(x)dx=∫[-1,0]0dx=0
当x∈[0,1]时
原积分=∫[0,1][2x]e^(-x)dx
=-2∫[0,1]x[e^(-x)]'dx
=-2(xe^(-x)|[0,1]+∫[0,1]e^(-x)d(-x))
=-2(1/e+e^(-x)|[0,1])
=-2(1/e+1/e-1)
=4/e=2
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