极限证明题设{an}满足：lim(an∑ai^2)=1,证明：lim (3^√3n)an=1注：3^√3n表示立方根号下3n ,∑对i从1到n求和,lim 是对n求极限,n趋于+∞ 这道题也很难,我也是抱着试试的态度看看是否遇得到解决它的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:40:09
极限证明题设{an}满足：lim(an∑ai^2)=1,证明：lim (3^√3n)an=1注：3^√3n表示立方根号下3n ,∑对i从1到n求和,lim 是对n求极限,n趋于+∞ 这道题也很难,我也是抱着试试的态度看看是否遇得到解决它的
极限证明题
设{an}满足：lim(an∑ai^2)=1,证明：lim (3^√3n)an=1
注：3^√3n表示立方根号下3n ,∑对i从1到n求和,lim 是对n求极限,n趋于+∞
这道题也很难,我也是抱着试试的态度看看是否遇得到解决它的人
我也分析了楼上的证明，发现有许多逻辑不严密甚至蕴涵逻辑混乱之处，正如楼下所说，其中等式a(n+1)^2=1/a(n+1)-1/an若成立，并由此得出an趋于0，我们再代入此等式，令n趋于+∞，有0=+∞-∞，而右式是无意义的，即使在实变函数中，也无意义。我认为(a1^2+a2^2+……+an^2)=1/an要成立，也只能认为“=”是等价的意思，因此an单调无从推出，最后由3^√3n满足1/a(n+1)^3-1/an^3=3得出an=3^√3n也是不严谨的，我们最多得出an与3^√3n等价，即便这样也不一定对，不过你的方法已揭示出正确方向，且具有很强的技巧性，我在此深深向你说声谢谢。而楼下的证明我经过细细揣摩，的确是正确的，也表明其深厚的数学功底，他还用到了stolz公式，这是我没想到的，真是人外有人，天外有天哪。我很乐意在此多加40分感谢玄色龙眼，
极限证明题设{an}满足：lim(an∑ai^2)=1,证明：lim (3^√3n)an=1注：3^√3n表示立方根号下3n ,∑对i从1到n求和,lim 是对n求极限,n趋于+∞ 这道题也很难,我也是抱着试试的态度看看是否遇得到解决它的
楼上的证明在很多细节上是过不去的,首先很多是极限情况,并不能直接认为相等,an递减是得不出来的.还有a(n+1)^2=1/a(n+1)-1/an就算认为是极限也是不对的,因为这相当于在原式两端同时乘以lim 1/an,而lim 1/an是无穷.
证明：
因为lim(an∑ai^2)=1，∑ai^2>=0,所以an>0.若an>=1,则∑ai^2>1,所以an∑ai^2>1.于是an必满足:0
2式减1式，得：a(n...
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证明：
因为lim(an∑ai^2)=1，∑ai^2>=0,所以an>0.若an>=1,则∑ai^2>1,所以an∑ai^2>1.于是an必满足:0
2式减1式，得：a(n+1)^2=1/a(n+1)-1/an。记为3式。又a(n+1)^2>0,所以1/a(n+1)-1/an>0。即a(n+1)
1式除以2式，得：
a(n+1)/an=(a1^2+a2^2+……+an^2)/(a1^2+a2^2+……+an^2+a(n+1)^2)
=1-a(n+1)^2/(a1^2+a2^2+……+an^2+a(n+1)^2)=1-0=1
所以n趋向于无穷大时，a(n+1)/an=1。
3式左右两边同乘以(1/a(n+1)^2+1/(an*a(n+1))+1/an^2)，左边=1+a(n+1)/an+a(n+1)^2/an^2=1+1+1=3,右边=1/a(n+1)^3-1/an^3
所以1/a(n+1)^3-1/an^3=3 记为4式。
当an=1/立方根号下3n 时，a(n+1)=1/立方根号下3n+3 。4式化为：
3n+3-3n=3成立。
所以n趋向无穷大时，有an=1/立方根号下3n，即lim(3^√3n)an=1
证毕。
如有疑问请补充。
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