求问高等代数中有关特征值特征多项式有关的题目第一题我不太会的就是如果当A不可逆时,并且A的秩为n-1时,那个0对应的A的伴随矩阵的特征值不会求.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:18:53
求问高等代数中有关特征值特征多项式有关的题目第一题我不太会的就是如果当A不可逆时,并且A的秩为n-1时,那个0对应的A的伴随矩阵的特征值不会求.
求问高等代数中有关特征值特征多项式有关的题目
第一题我不太会的就是如果当A不可逆时,并且A的秩为n-1时,那个0对应的A的伴随矩阵的特征值不会求.
求问高等代数中有关特征值特征多项式有关的题目第一题我不太会的就是如果当A不可逆时,并且A的秩为n-1时,那个0对应的A的伴随矩阵的特征值不会求.
一.r(A) = n-1时可以用关于特征多项式系数的以下论断:
n阶方阵A的n-1次项系数 = -∑{1 ≤ i ≤ n} a[i,i],1次项系数 = (-1)^(n-1)·∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i],
其中a[i,i]表示i行i列的元素,A[i,i]表示去掉i行i列后的余子式.
证明可将行列式|λE-A|完全展开,而且可推广到:k次项系数 = (-1)^(n-k)·k阶主子式之和.
r(A) = n-1时,A至少有一个零特征值,设λ[k] = 0,则对i ≠ k都有μ[i] = 0.
由根与系数关系,μ[k] = ∑{1 ≤ i ≤ n} μ[i] = (-1)^(n-1)·1次项系数 = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i].
另一方面,r(A*) = 1,0作为A*的特征值的重数至少是n-1.
剩下的一个特征值 = A*的特征值之和 = tr(A*) = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i] = μ[k].
因此μ[1],μ[2],...,μ[n]是A*的n个特征值.
二.(1)(2) 由A为n阶正交阵且|A| = 1,有f(λ) = |λE-A|
= |λA'A-A| = |λA'-E|·|A| = |λA-E| = (-λ)^n·|E/λ-A| = (-1)^n·λ^n·f(1/λ).
注意到λ^n·f(1/λ)的系数恰好是f(λ)系数的反排.
n为偶数时(-1)^n = 1,故a[i] = a[n-i]; 而n为奇数时(-1)^n = -1,故a[i] = -a[n-i].
(3) 设A = [a,b;c,d],由a²+c² = 1,不妨设a = cos(t),c = sin(t).
进而由a²+b² = 1,c²+d² = 1可得b = ±sin(t),d = ±cos(t).
由1 = cos²(t)+sin²(t) ≥ ±cos²(t)±sin²(t) = ad-bc = |A| = 1,知d = cos(t),b = -sin(t).
因此行列式为1的2阶正交阵总可表示为[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)].
此时可验证B = [cos(t/2),-sin(t/2);sin(t/2),cos(t/2)]即满足条件.
注:其实[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)]对应平面上以t为角度的旋转,
从这个角度理解,B的构造就很直接了.
第一题可以用连续函数证明
第二题 |A'|*|x*E-A|=|x*E-A|,即可以证明1 2 第三个显然