求解四点共圆奥数题作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.急~~~~~~~~~~要过程!有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 08:49:26
求解四点共圆奥数题作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.急~~~~~~~~~~要过程!有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~
求解四点共圆奥数题
作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.急~~~~~~~~~~要过程!有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~
求解四点共圆奥数题作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.急~~~~~~~~~~要过程!有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~
三角形是正三角形,四点共圆
所以 角CPB=角CAB=60度=角ABC=角apc
角pab=角pcb
所以 三角形apd 相似于 三角形cpb
所以 PC/PB=PA/PD 1式
PC/PA=PB/PD 2式
在pc上取点k使得 pk=pb
则由于 角cpb=60度
所以 三角形cpb为正三角形 可得 BK=BP=PK
所以 角pkb=60度
角ckb=120度=角apb
又因为 角bck=角bap
由于 AAS,三角形CKB与APB全等
所以 CK=PA
所以 PC=PK+KC=PB+PA
上面 1式+2式得：
PC/PB+PC/PA=(PA+PB)/PD
因为 PA+PB=PC
所以 PC/PB+PC/PA=PC/PD
两边同除以PC得：
1/PA+1/PB=1/PD
得证
因为，在圆内，所以三角形ADP相似于三角形PBC，所以PA*PB=PC*PD。过A作AQ交PC于Q，使AQ=AP=PQ，所以角PAQ=60，所以角QAC=角PAQ，又因为AB=AC，所以，三角形APB全等于AQC，所以CQ＝PB，所以PA+PB＝PC，
1/PA+1/PB=PA+PB/PA*PB＝PC/PC*PD=1/PD
取PC上一点E，使得PE=PB,
因为三角形ABC为正三角形，所以有AB=AC=BC，
角BPE=角ABC=60度，则三角形PEB为正三角形，则BE=PB,角BPE=角ABC=60度,角ABE 为公共角，故角PAB=角EBC,再加上AB=BC，可推出三角形APB=三角形CEB,所以有EC=PA,又因PE=PB，所以
PC=PE+EC=PB+PA
接下来证三角形ADP...
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取PC上一点E，使得PE=PB,
因为三角形ABC为正三角形，所以有AB=AC=BC，
角BPE=角ABC=60度，则三角形PEB为正三角形，则BE=PB,角BPE=角ABC=60度,角ABE 为公共角，故角PAB=角EBC,再加上AB=BC，可推出三角形APB=三角形CEB,所以有EC=PA,又因PE=PB，所以
PC=PE+EC=PB+PA
接下来证三角形ADP相似于三角形PBC：
因为AC=BC所以角APC=角BPC,又因角PAB=角BPC
所以三角形ADP相似于三角形PBC
所以有PA/PC=PD/PB
化简得1/PD=PC/(PAPB)=(PA+PB)/(PAPB)
即1/PA+1/PB=1/PD
收起
CQ＝PB,PA+PB＝PC