已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:52:26
已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q
已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q
已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q
答案是-1/4吧!
首先不妨先把f(f(x))=0里面的f(x)设成a,则问题就形成求f(a)=0有唯一解即a有唯一值.
而作为f(a)=a²+a+q=0有唯一解,当且仅当对应二次函数f(a)=a²+a+q与x轴仅有一个交点
且交点即为对称轴a=-1/2时取得,所以可确定a的值为-1/2
所以问题转化为求f(f(x))=0里面的f(x)=a=-1/2有唯一解
即x2+x+q+1/2=0有唯一解,同上理当且判别值△=1-4（q+1/2）=0时,上式有唯一解
求得q=-1/4
令t=x^2+x+q, 则f(f(x))=t^2+t+q=0,这个方程有唯一一个解，
首先，t^2+t+q=0肯定只有一个有效的根t（不一定Δ=0）。但注意无论t取多少，对于t=x^2+x+q来讲，必须只能有一个x对应，也就是说t=x^2+x+q必须Δ=0，解得此时t=q-1/4。
然后，t=q-1/4代入t^2+t+q=0，可解得q了，但是要注意，这时队解...
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令t=x^2+x+q, 则f(f(x))=t^2+t+q=0,这个方程有唯一一个解，
首先，t^2+t+q=0肯定只有一个有效的根t（不一定Δ=0）。但注意无论t取多少，对于t=x^2+x+q来讲，必须只能有一个x对应，也就是说t=x^2+x+q必须Δ=0，解得此时t=q-1/4。
然后，t=q-1/4代入t^2+t+q=0，可解得q了，但是要注意，这时队解得的q要检验，因为这个q能使一个x对应一个t，但是t^2+t+q=0不见得只有一个t, 其中 t1=q-1/4, t2就要解出来了。
因为t=x^2+x+q>=q-1/4,所以要只有一个根，就必须让t2<=q-1/4,即让t2成为无效的增根，这样就满足条件了。
收起
q=0