在三角形ABC中,CD⊥AB于D,若CD²=AD×DB,试说明三角形ABC是直角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:51:43
在三角形ABC中,CD⊥AB于D,若CD²=AD×DB,试说明三角形ABC是直角三角形
在三角形ABC中,CD⊥AB于D,若CD²=AD×DB,试说明三角形ABC是直角三角形
在三角形ABC中,CD⊥AB于D,若CD²=AD×DB,试说明三角形ABC是直角三角形
AD=AB-DB
所以 CD²=(AB-DB)*DB=AB*BD-DB²
所以 CD²+DB²=AB*BD
已知 CD⊥AB于D,所以CD²+DB²=BC²
即BC²=AB*BD
同理可证：BD=AB-AD
所以 CD²=AD×（AB-AD）=AD×AB-AD²
所以 CD²+AD²=AD×AB
已知 CD⊥AB于D,所以CD²+AD²=AC²
即AC²=AD×AB
把两个式子加起来得
AC²+BC²=（AB×BD）+（AD×AB）=AB×(BD+AD)=AB²
即AC²+BC²=AB²
所以角ABC=90°
ADXDB=CD2
2ADXDB=AD2+CD2+CD2+DB2-AD2-DB2
AD2+DB2+2ADXDB=AC2+BC2
(AD+DB)2=AC2+BC2
AB2=AC2+BC2
所以是直角三角形。（反推的）
CD2=AD*DB=AC2-AD2=BC2-BD2
AC2=AD(DB+AD)=AD*AB
BC2=BD(DB+AD)=BD*AB
AC2+BC2=AB(AD+DB)
AC2+BC2=AB2
证法一：相似三角形法：∵CD²=AD×DB，则DC∶AD=DB∶CD，且∠ADC=∠CDB=90°，∴△ADC∽△CDB。∴∠A=∠BCD，而∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD＋∠BCD=90°，∴∠ACB=90°∴△ABC是直角△。证法二：三角函数法：由tan∠A=CD ／DA，tan∠B=CD／DB ，∴tan∠A·tan∠B=CD²／﹙AD×DB﹚=1，∴∠A与∠B互余，...
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证法一：相似三角形法：∵CD²=AD×DB，则DC∶AD=DB∶CD，且∠ADC=∠CDB=90°，∴△ADC∽△CDB。∴∠A=∠BCD，而∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD＋∠BCD=90°，∴∠ACB=90°∴△ABC是直角△。证法二：三角函数法：由tan∠A=CD ／DA，tan∠B=CD／DB ，∴tan∠A·tan∠B=CD²／﹙AD×DB﹚=1，∴∠A与∠B互余，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角△
收起
由CD²=AD×DB 可知 △ACD相似于△CBD
则对应角相等 ，即∠ACD=∠CBD
因为∠ACD+∠A=90度，所以∠CBD+∠A=90度 即∠ACB=90度
所以△ABC是直角三角形
很简单嘛，太简单了