如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 00:40:38
如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
如图11-3.2-7,△ABC的外角平分线BP和CP交于点P,试证明:AP平分∠BAC
过P点作AB、AC、BC的垂足于E、F、G点,
则PE⊥AE,PF⊥AF,PG⊥BC,
∴∠PEA=∠PGB=∠PGC=∠PFA=90°
∵BP、CP分别为∠CBE和∠BCF的角平分线,
∴PE=PG=PF
∵AP为公共边,
∴△APE≌△APF
∴∠EAP=∠FAP
∴AP为∠BAC的角平分线
这个问题中P就是三角形ABC的内心。
过P作三边的垂线，运用角平分线的性质（角平分线上任意一点到角两边距离相等），你会发现点P到AB，AC的距离相等（中间用P到BC边的距离过渡一下）这样P就在角A的角平分线上，这样这个题目就证完了。LZ只要知道三角形全等肯定没问题。
另外比如用Ceva定理也是可以的，不知LZ是否听说过。
三角形的五心已经淡出数学的初等教育体系了，我们几何圈...
全部展开
这个问题中P就是三角形ABC的内心。
过P作三边的垂线，运用角平分线的性质（角平分线上任意一点到角两边距离相等），你会发现点P到AB，AC的距离相等（中间用P到BC边的距离过渡一下）这样P就在角A的角平分线上，这样这个题目就证完了。LZ只要知道三角形全等肯定没问题。
另外比如用Ceva定理也是可以的，不知LZ是否听说过。
三角形的五心已经淡出数学的初等教育体系了，我们几何圈里的人也很无奈的。
LZ对几何感兴趣的话，可以去看一下刘培杰数学工作室出版的【三角形的五心】还有【初等数学复习与研究（平面几何）】里面内容很全的，另外刚刚说的Ceva定理也可以再任何一本几何著作及数学竞赛书上找到。
收起
（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC2=AC2-AP2
在Rt△BCP中，PC2=BC2-BP2
∴AC2-BC2=AP2-BP2
（2）∵AB2=AP2+PB2，BC2=BP2+CP2，CD2=CP2+DP2，AD2=DP2+AP2
∴AB2+CD2=AD2+BC2
（3）PA2+PC2=PB2+PD2
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于...
全部展开
（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC2=AC2-AP2
在Rt△BCP中，PC2=BC2-BP2
∴AC2-BC2=AP2-BP2
（2）∵AB2=AP2+PB2，BC2=BP2+CP2，CD2=CP2+DP2，AD2=DP2+AP2
∴AB2+CD2=AD2+BC2
（3）PA2+PC2=PB2+PD2
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于E，F，过P作MN∥AB交AD，BC于M，N
则PA2=AM2+PM2，PB2=BN2+PN2，PC2=PN2+NC2，PD2=MD2+PM2
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
收起
连接ap
过p点作pB、pC、pA分别垂直于pb、pc、pa，B、C、A为垂足
因为bp、cp为外角平分线
则pB=pA,pC=pA
所以pB=pC
则ap为∠a平分线
即点p必在∠bac的角平分线上
证明： 过P点做PM⊥AD,PN⊥AE,PQ⊥BC. ∵BP是∠DBC的角平分线 ∴PM=PQ (角平分线上的点到两边之间的距离相等） 同理: ∵CP是∠DBC的角平分线 ∴PN=PQ ∴PM=PN 又 ∵PM⊥AD,PN⊥AE ∴∠1=∠2=90° 在Rt△APM 和Rt△APN中： PM=PN（以证） AP=AP （公共边） ∴Rt△APM ≌ Rt△APN ∴∠BAP=∠PAE ∴AP平分∠BAC 乎~打完了~