函数性质的综合运用定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)且f(0)=1 1.判断y=f(x)的奇偶性 2.若存在正常数C,使f(C/2)=0 ①.求证:对任意x∈R,有f(x+C)=-f(x)成立,②.试问函数f(x)是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 02:08:38
函数性质的综合运用定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)且f(0)=1 1.判断y=f(x)的奇偶性 2.若存在正常数C,使f(C/2)=0 ①.求证:对任意x∈R,有f(x+C)=-f(x)成立,②.试问函数f(x)是
函数性质的综合运用
定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)且f(0)=1 1.判断y=f(x)的奇偶性 2.若存在正常数C,使f(C/2)=0 ①.求证:对任意x∈R,有f(x+C)=-f(x)成立,②.试问函数f(x)是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由
函数性质的综合运用定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)且f(0)=1 1.判断y=f(x)的奇偶性 2.若存在正常数C,使f(C/2)=0 ①.求证:对任意x∈R,有f(x+C)=-f(x)成立,②.试问函数f(x)是
第一问：因为f(x)是定义在R上的函数,令x=0,带入到f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y) .有
f(y)+ f(-y)=2f(0)*f(y) ,得 f(y)+f(-y)= 2f(y) ,得f(y)=f(-y) 所以f(x)为R上的偶函数.
第二问：令y=c/2 ,带入到f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y) .有f(x+c/2 )+ f(x-c/2)=2f(x)*f(c/2) .即 f(x+c/2 )+ f(x-c/2)=0 .令x=y+c/2 代入上式得：f(y+c)+f(y)=0 ,即f(y+c)=-f(y) .再把y 换作x 即可.
第三问：利用结论f(x+C)=-f(x).令x=y+c 得：f(y+2c)= -f(y+c)= f(y) .所以2c 是f(x)的一个周期.