用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 08:57:10
用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥

用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2
用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2

用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2
证明:当n=4时,2^(n+1)=2^5=32,n^2+3n+2=4^2+3*4+2=30,2^(n+1)≥n^2+3n+2成立
设:当n=k(k>4)时2^(k+1)≥k^2+3*k+2成立
则 当n=k+1时2^(k+1+1)=2^(k+1)*2 n^2+3n+2=(k+1)^2+3*(k+1)+2
因 (k+1)^2+3*(k+1)+2=k^2+2k+1+3k+1+2=(k^2+3k+2)*2-k^2-k
由于当n=k时等式成立即:2^(k+1)≥k^2+3*k+2两边同时乘以2有
(2^(k+1))*2≥(k^2+3*k+2)*2>=(k^2+3k+2)*2-k^2-k
得到n=k+1时等式也成立
得证结论

当n=4时 2^5=32>16+12+2=30
假设当n=k 时 2^(k+1)≥k^2+3k+2=(k+1)(k+2)
n=k+1 右边= (k+1)^2+3(k+1)+2=k^2+5k+6=(k+1)(k+5)
左边=2^(k+2)=2*2^(k+1)>(k+1)(2k+4)>(k+1)(k+5) (当k>=4)
所以得证

(1)n=4时左=32,右=30,
(2)假设n=k时命题成立,即2^(k+1)≥k^2+3k+2
那么n=k+1时即证2^(k+2)≥(k+1)^2+3(k+1)+2