若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 00:49:11
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
证明：∵x+y+z=1
∵1/x+1/y+1/z=1=1/（x+y+z)
∴(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1
∴(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz=0
∴(x+y+z)[y(x+z)+zx(x+y+z)]-xyz=0
∴(x+y+z)y(x+z)+zx(x+z)=0
∴(x+z)(xy+y^2+yz+xz)=0
∴(x+z)(x+y)(y+z)=0
∴(1-y)(1-z)(1-x)=0
∴x,y,z 中至少有一个等于1
1/(x+y+z)=1则x+y+z=1
1/x+1/y+1/z=1则xyz=xy+yz+xz
而x=1-y-z因此(1-y-z)yz=(1-y-z)(y+z)+yz
移项得 -(y+z)yz=(1-y-z)(y+z)
所以要么y+z=0 证出x=1-y-z=1
要么-yz=1-y-z ，y-yz=1-z ，y(1-z)=1-z 得...
全部展开
1/(x+y+z)=1则x+y+z=1
1/x+1/y+1/z=1则xyz=xy+yz+xz
而x=1-y-z因此(1-y-z)yz=(1-y-z)(y+z)+yz
移项得 -(y+z)yz=(1-y-z)(y+z)
所以要么y+z=0 证出x=1-y-z=1
要么-yz=1-y-z ，y-yz=1-z ，y(1-z)=1-z 得到要么y=1
要么1-z=0则z=1
综上，x,y,z中至少有一个等于一。完毕。
收起
由题知x+y+z=1
则 y+z=1-x
1/x+1/y+1/z=1
xy+xz+zy=xyz
x(y+z)+zy=xyz
(x-1)(yz+x)=0
若x-1=0 则得证
若 yz+x=0
则xy+xz-x=-x^2
y+z-1=-x
y+z-1=zy
(z-1)(y-1)=0
则得证