已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上,三角形ABC是以边长为1的正三角形,SC为球O的直径,若三棱锥S-ABC的体积为√2/6,则球O的表面积是多少?‘我看过您的回答 可是还是不太懂
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 11:09:04
已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上,三角形ABC是以边长为1的正三角形,SC为球O的直径,若三棱锥S-ABC的体积为√2/6,则球O的表面积是多少?‘我看过您的回答 可是还是不太懂
已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上,三角形ABC是以边长为1的正三角形,SC为球O的直径,若三棱锥S-ABC的体积为√2/6,则球O的表面积是多少?‘
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已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上,三角形ABC是以边长为1的正三角形,SC为球O的直径,若三棱锥S-ABC的体积为√2/6,则球O的表面积是多少?‘我看过您的回答 可是还是不太懂
你说的是这个回答吧
利用正弦定理,设三角形ABC外接圆半径为r
则2r=1/sin60°=2/√3
∴ r=√3/3
设球的半径为R
∴ O到平面ABC的距离d=√(R²-r²)=√6/3
（可能这一步有问题,这个是球的截面性质,
即球心到截面的距离d,截面半径r,球半径R 满足d=√(R²-r²) ）
∵ O是SC的中点
∴ S到平面ABC的距离是2d=2√(R²-r²)
（这一步的意思是O是SC的中点,则S到平面ABC的距离=O到平面ABC距离的2倍）
∵ 三角形ABC的面积是(√3/4)*1=√3/4
∴ 三棱锥的体积=(1/3)*(√3/4)*2√(R²-r²)=√2/6
∴ 2√(R²-r²)=2√6/3
∴ R²-1/3=2/3
∴ R=1
∴ 球的表面积是S=4πR²=4π
SC和SA一样，这个标记无影响。O1是三角形ABC的中点。那么，就通过计算算出AP的长度，又依据凌锥体积算法，算出SP的高度。SP垂直于面ABC。那么在直角三角形中SPA中就算出SA的长度根号3，直径SA知道就算出球表面积3π
过C作CF垂直AB且延长CF与球O交于D，CF=√3/2, CD为正三角形ABC所在圆的直径，E为圆心，DE=CE， 根据正弦定理，1/sin60=2DE，DE=√3/3, 连接SD， 因SC为球径，所以然角SDC是直角，SD垂直DC， SD为三棱锥S-ABC的高，S三角形ABC=1/2*AB*CF=1/2*1*√3/2=√3/4, V三棱锥S-ABC=1/3*√3/4*SD=√2/6，SD=2√6/3, 连接OE，因DE=CE，所以，OE垂直DC，所以OE//SD，所以OE=1/2SD=√6/3， OC²=OE²+CE²=（√6/3）²+（√3/3）²=1，OC=1 S球=4π*OD²=4π*1²=4π。