点P在直线L:Y=X-1上,若存在过P的直线交抛物线Y=X^2于A,B两点,且PA的绝对值等于PB的绝对值,则称点P为好点直线L上的所有点都是“好点” 为什么?请给出解题思路和过程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 04:23:41
点P在直线L:Y=X-1上,若存在过P的直线交抛物线Y=X^2于A,B两点,且PA的绝对值等于PB的绝对值,则称点P为好点直线L上的所有点都是“好点” 为什么?请给出解题思路和过程
点P在直线L:Y=X-1上,若存在过P的直线交抛物线Y=X^2于A,B两点,且PA的绝对值等于PB的绝对值,则称点P为好点
直线L上的所有点都是“好点” 为什么?请给出解题思路和过程
点P在直线L:Y=X-1上,若存在过P的直线交抛物线Y=X^2于A,B两点,且PA的绝对值等于PB的绝对值,则称点P为好点直线L上的所有点都是“好点” 为什么?请给出解题思路和过程
首先求直线与抛物线的位置关系,设C为其交点坐标,根据题意,C同时满足等式⑴Y=X-1和⑵Y=X^2,即:X^2=X-1.
根据求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a),X=1/2±√(1-4)/2.没有实根,所以直线和抛物线不可能有交点,即不存在点C.另一方面,可以证明抛物线是单调凸曲线.
过直线L上任意点P的直线L1可以表示为,L1:y=ax+b,则L1上有一点P满足L的方程,即ax+b=x-1有唯一解,于是我们有,(a-1)x=-(b+1).又根据题要求L1交于抛物线两点,即ax+b=x^2有两个相异解,即方程x^2-ax+b=0中a-4b>0,且两点的x坐标分别为：a/2±.5*√(a-4b).
根据上述结果可以得到两个交点的坐标,(x1,y1),(x2,y2),以及P的坐标(x,y),它们均是a、b的函数,且a-4b>0.
可以证明不可能存在PA和PB绝对值相同的直线(证明和讨论从略),除非a-4b=0,即过P的直线与抛物线相切－－其实通过作图法易于判别,因为直线与抛物线不相交.
如果不考虑A、B两点一定不同,那么只有相切的点才能满足题设要求.于是问题转化为是否过直线上任何一点均可作一直线与抛物线相切?
我们可以有两个思路,一是采用前述的方法,令a-4b=0,证明存在至少一组(a,b)满足上述要求.
另一个思路则是,在对抛物线上任意点求其切线方程,显然该方程是抛物线上点(x0,x0^2)的函数,然后证明该切线方程与直线L有解.
进一步证明从略,结论是答案没错,而且过L上所有点可以做两条这样的直线,它们满足P为好点的定义.