a,b,c>o 求证：a3+b3+c3>=3abc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:49:57
a,b,c>o 求证：a3+b3+c3>=3abc
a,b,c>o 求证：a3+b3+c3>=3abc
a,b,c>o 求证：a3+b3+c3>=3abc
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
∵a,b,c>0
∴a+b+c>0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)/2
=[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2] /2>=0
相乘>=0
得证
先移项分解因式
得:
a^3+b^3+c^3-3abc
=[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a...
全部展开
先移项分解因式
得:
a^3+b^3+c^3-3abc
=[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
因为a^2+b^2大于等于2ab
a^2+c^2大于等于2ac
c^2+b^2大于等于2cb
加起来可证明(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)大于等于0
又因为a+b+c大于0
所以证明成立
收起
for (int a=1;;a++) {
for (int b=1;;b++) {
for (int c=1;;c++) {
if (a*a*a+b*b*b+c*c*c<3*a*b*c) {
System.out.println(a + "|" + b + "|" + c);
}
}
}
}
死机了，说明a*a*a+b*b*b+c*c*c永远大于等于3*a*b*c
这道题其实很简单
你只要用均值不等时就行了
因为 对于任意正数a,b,c
有 （a+b+c)/3>=3三次方根（abc)
所以 a3+b3+c3>=3三次方根（a^3b^3c^3)=3abc
作差,因式分解,配方.