2012年益阳中考数学的最后一题及答案
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:23:07
2012年益阳中考数学的最后一题及答案
2012年益阳中考数学的最后一题及答案
2012年益阳中考数学的最后一题及答案
21．（2012•益阳）已知：如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2）,使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,
∴∠ABF+∠CBF=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠ABF+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF
（2）∵正方形面积为3,
∴AB=
在△BGE与△ABE中,
∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,
∴△BGE∽△ABE
∴ ,
又∵BE=1,
∴AE2=AB2+BE2=3+1=4,
∴S△BGE= ×S△ABE= =
（3）没有变化．
理由：∵AB= ,BE=1,
∴tan∠BAE= = ,∠BAE=30°,
∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′公共,
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,
设BF与AE′的交点为H,
则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共,
∴△BAG≌△HAG
∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化
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