已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 09:55:44
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
已知a+b+c+d=0,a的三次方+b的三次方+c的三次方+d的三次方=3 ,求abc+bcd+cda+dab的值
a＋b＋c＋d＝0
(a＋b＋c＋d)³＝0
a³＋b³＋c³＋d³＋3a²b＋3a²c＋3a²d＋3ab²＋3b²c＋3b²d＋3ac²＋3bc²＋3c²d＋3ad²＋3bd²＋3cd²＋6abc＋6bcd＋6cda＋6dab＝0 （1）
∵a＋b＋c＋d＝0
∴a³＋a²b＋a²c＋a²d＝0
∴3a²b＋3a²c＋3a²d＝－3a³ （2）
同理：3ab²＋3b²c＋3b²d＝－3b³ （3）
3ac²＋3bc²＋3c²d＝－3c³ （4）
3ad²＋3bd²＋3cd²＝－3d³ （5）
将（2）、（3）、（4）、（5）代入（1）得：
a³＋b³＋c³＋d³－3a³－3b³－3c³－3d³＋6abc＋6bcd＋6cda＋6dab＝0
abc＋bcd＋cda＋dab＝1/3(a³＋b³＋c³＋d³)＝1
(a+b+a+d)(a²+b²+c²+d²-2ab-2bc-2cd-2ad)=a³+b³+c³+d³+ab²+ac²+ad²-2a²b-2bac-2acd-2a²d+a²b+c²b+bd²-2ab²-2b²c-2bcd-2abd+...+)
=a³+b³+c³+d³-3(abc+bcd+cda+dab)
abc+bcd+cda+dab=1
abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)=-ab(a+b)-cd(c+d)=-(a平方b+ab平方+c平方d+cd平方) ①
因为 (a的三次方+c的三次方)+(b的三次方+d的三次方)=3
所以 (a+c)(a平方-ac+c平方)+(b+d)(b平方-bd+d平方)=3
因为a+b+c+d=0 所以a+c=-(b+d)
...
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abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)=-ab(a+b)-cd(c+d)=-(a平方b+ab平方+c平方d+cd平方) ①
因为 (a的三次方+c的三次方)+(b的三次方+d的三次方)=3
所以 (a+c)(a平方-ac+c平方)+(b+d)(b平方-bd+d平方)=3
因为a+b+c+d=0 所以a+c=-(b+d)
-｛(d+b)(a平方-ac+c平方)+(a+c)(b平方-bd+d平方)｝=3
-｛a平方d-acd+dc平方+a平方b-abc+bc平方+ab平方-abd+ad平方+b平方c-bcd+cd平方｝=3 由①知 此式中的dc平方+a平方b+ab平方+cd平方可换为abc+bcd+cda+dab
整理后得 -(a平方d+bc平方+ad平方+b平方c)=3
ad(a+d)+bc(b+c)=-3
ad(b+c)+bc(a+d)=3
abd+acd+abc+bcd=3
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