设平面T经过T1：3X-4Y+6=0与平面T2：2Y+Z-11=0的交线,且与平面T1垂直,试求平面T的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 04:12:41
设平面T经过T1：3X-4Y+6=0与平面T2：2Y+Z-11=0的交线,且与平面T1垂直,试求平面T的方程
设平面T经过T1：3X-4Y+6=0与平面T2：2Y+Z-11=0的交线,且与平面T1垂直,试求平面T的方程
设平面T经过T1：3X-4Y+6=0与平面T2：2Y+Z-11=0的交线,且与平面T1垂直,试求平面T的方程
设平面T经过T1：3X-4Y+6=0与平面T2：2Y+Z-11=0的交线,且与平面T1垂直,试求平面T的方程
由3x-4y+6=0,得x=(4/3)y-2.(1)
由2y+z-11=0,得z=-2y+11.(2)
方程组(1)(2)是两平面T₁和T₂的交线的投影式方程.
在此交线上任取两点：令y=0,得x=-2,z=11,即有M(-2,0,11)；
再令y=3,得x=2,z=5,故得N(2,3,5)；
M、N是交线上的两点,过M的平面T的方程可写为A(x+2)+B(y-0)+C(z-11)=0.(3)
T又过N,故还有A(2+2)+B(3-0)+C(5-11)=4A+3B-6C=0.(4)
T与T₁垂直,故又有3A-4B=0.(5)
方程组(3)(4)(5)有非零解的充要条件是三阶行列式：
︱x+2.y.z-11︱
︱ 4.3.-6︱=0
︱ 3.-4.,0︱
解此行列式得-24(x+2)-18y-25(z-11)=0
即24x+18y+25z-227=0为所求.
待定系数法。设平面T方程为ax + by + cz = d。
由于平面过平面T1与平面T2的交线，因此所有满足：3x - 4y + 6 = 0以及2y + z -11 =0的点都在平面T内，由3x - 4y + 6 = 0得到 x = (4y-6)/3，由2y + z -11 =0得到z = 11 - 2y。讲它们代入平面T方程，得到：
a(4y - 6)/3 + by + c(1...
全部展开
待定系数法。设平面T方程为ax + by + cz = d。
由于平面过平面T1与平面T2的交线，因此所有满足：3x - 4y + 6 = 0以及2y + z -11 =0的点都在平面T内，由3x - 4y + 6 = 0得到 x = (4y-6)/3，由2y + z -11 =0得到z = 11 - 2y。讲它们代入平面T方程，得到：
a(4y - 6)/3 + by + c(11-2y) = d，
整理得到：(4a/3 + b - 2c)y - 2a + 11c = d，于是
4a/3 + b - 2c = 0，d = -2a + 11c (1)
另外，由于平面T垂直于平面T1，所以两平面的方向向量的内积为零：
(3,-4,6)*(a,b,c) = 3a - 4b + 6c = 0 (2)
联立(1)和(2)，把a,b,d都表示为c，得到：
a = 6c/25, b = 42c/25, d = 263c/25. 把它们都代入到最开始的平面T的方程，有：
6c/25 * x + 42c/25 * y + cz = 263c/25
约掉c/25，得到平面T方程为：
6x + 42y + z = 263.
收起