已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=（1/3）AB+（1/3）ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/（3x）,n=1/（3y）于是1/（3x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 23:40:31
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=（1/3）AB+（1/3）ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/（3x）,n=1/（3y）于是1/（3x
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?
AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1
AG=（1/3）AB+（1/3）AC
AM=xAB,AN=yAC
于是mx=1/3,ny=1/3
得m=1/（3x）,n=1/（3y）
于是1/（3x）+1/（3y）=1
3=（x+y）/xy
得xy/（x+y）=1/3
问：为什么m+n=1,还有为什么1/3AM+1/3AN=AG?
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=（1/3）AB+（1/3）ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/（3x）,n=1/（3y）于是1/（3x
先回答第一个问题：
这是一个向量共线的基本问题：如果向量满足OA=mOB+nOC的关系（其中m、n为非零实数）,且A、B、C三点共线,则必有m+n=1；相反地,如果向量满足OA=mOB+nOC的关系（其中m、n为非零实数）,且m+n=1,则必有A、B、C三点共线.证明如下（以本题为例）：
因为向量MG与向量MN共线（为表述方便,以下线段均指向量）,则MG=λMN（λ≠0）
而MG=AG-AM,MN=AN-AM
所以AG-AM=λ(AN-AM),整理得AG=(1-λ)AM+λAN
令m=1-λ,n=λ,则m+n=1.证毕
第二问题引用有误,不是1/3AM+1/3AN=AG,而是1/3AB+1/3AC=AG
这是重心定理的应用：重心到顶点的距离等于该中线的2/3.以上1/3AB+1/3AC=AG是正确的,理由如下：
设A点的中线为AD,由平行四边形法则（将三角形补成平行四边形）知2AD=AB+AC
而AG=2/3AD
所以有1/3AB+1/3AC=AG