一个三角形的三条中线分别是3、4、5,求这个三角形的面积

一个三角形的三条中线分别是3、4、5,求这个三角形的面积
一个三角形的三条中线分别是3、4、5,求这个三角形的面积

一个三角形的三条中线分别是3、4、5,求这个三角形的面积

三角形中线性质：

   三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4

以下是这个【三角形中线性质】的推导证明：

△ABC的三条中线分别为AE、BF、CD,三条中线交于G点,求证：AE、BF、CD组成的三角形的面积为S△ABC的3/4.

证明：过F作线段FP//AE,较DE的延长线于P点,连接EF、DF、CP、BP.

     ∵ △ABC的三条中线分别为AE、BF、CD

         ∴ 可得到：EF//AB、 DF//BC、DE//AC、DP//AC

                             EF=AD=BD=AB×(1/2)

                             DF=BE=EC=BC×(1/2)

                             DE=AF=CF=AC×(1/2)

        ∵ FP//AE,DP//AC   （四边形定义：两条边相互平行的四边形为平行四边形）

        ∴ ⠀AEPF为平行四边形,即：DE=AF=CF=EP=AC×(1/2)

                                                         AE=EP

                                                         EF//CP,EP//CF//AC

                                                         S△AEF=S△FEP

        ∵ EP//CF//AC,CF=EP

        ∴ ⠀EPCF为平行四边形,即：EF=AD=BD=CP=AB×(1/2)

                                                         CP//EF

        ∵ EF//AB,EF//CP//AB

        ∴ EF//AB//CP,

     由于以上求得：EF=AD=BD=CP  

                 （平行四边形判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）

        ∴ ⠀BPCD为平行四边形,即：BP=DC,BP//DC

                                                         EF=AD=BD=CP=AB×(1/2)

        ∵ 以上求得：AE=EP,BP=DC

        ∴ △ABC的三条中线分别为AE、BF、CD构成的三角形与△BPF是等比三角形,

       且面积与△BPF相等.

      ∵ △BDC、△BDP为等底的三角形,EF//CP//AB

      ∴ S△BDC=S△BDP=S△BDE×2=S△BPE×2=S△DEC×2=S△ABC×(1/2)

           即：S△BPE=S△ABC×(1/4)

       ∵  △AEF、△FEC等高的三角形,AF=CF,S△AEF=S△FEP=S△ABC×(1/2)

       ∴  S△AEC=S△FEP×2=S△AEF×2=S△EFC×2=S△ABC×(1/2)

            即：S△FEP=S△ABC×(1/4)

      ∵ △BEF、△FEC等高的三角形,BE=EC,

   ∴  S△BEF=S△EFC=S△BFC×(1/2)=S△ABC×(1/2)×(1/2)=S△ABC×(1/4)

            S△BPF=S△BEF+S△BPE+S△FEP

                         =S△ABC×(1/4)+S△ABC×(1/4)+S△ABC×(1/4)

                         =S△ABC×(3/4)

 综上所述：AE、BF、CD组成的三角形的面积为S△ABC的3/4

若AE、BF、CD长度分别为3、4、5,

根据勾股定理可知道：S△BPF形是直角三角形（Rt△）

   S△BPF=（3×4）÷2=6

     S△BPF=S△ABC×(3/4)

               8 =S△ABC×(3/4)

      S△ABC=6÷(3/4)

                  =8

所以：

       一个三角形的三条中线分别是3、4、5,那么,这个三角形的面积=8

三条中线3 4 5
面积是8
设三角形ABC，三条中线：AD、BE、CF交于O，且长分别为3、4、5。延长OD到G，使OD＝DG。连接BG。
然后自己算 OG=2
OB=8/3
BG=10/3
所以三角形BOG为直角三角形 面积可求为8/3
小三角形BOD面积为其一...

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三条中线3 4 5
面积是8
设三角形ABC，三条中线：AD、BE、CF交于O，且长分别为3、4、5。延长OD到G，使OD＝DG。连接BG。
然后自己算 OG=2
OB=8/3
BG=10/3
所以三角形BOG为直角三角形 面积可求为8/3
小三角形BOD面积为其一半 4/3
这个小三角形BOD是大三角形ABC的六分之一（你可以证明，这是中线性质）
故为8

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