一般式方程的法向量和方向向量例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"课本

一般式方程的法向量和方向向量例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"课本
一般式方程的法向量和方向向量
例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.
因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"
课本上说,直线的一般式方程ax+by+c=0,其中的法向量n=(a,b)；方向向量d=(b,-a).可是为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
同问：课本上有个方框问题“请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量”.
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一般式方程的法向量和方向向量例题："已知点l经过点P（1,2）,且垂直于直线l0:x-3y-5=0,求直线l的方程.因为直线l垂直于直线l0,所以直线l0的一个方向向量d=(3,1).是直线l的一个法向量····"课本
就以高中生能理解的方式给你讲吧
第一个问题：为什么例题中的方向向量,1是正数呢?
答：你注意到了1是正数,却没有注意到3也是正数.按照你们课本上的“方向向量d=(b,-a).”可知l0的一个方向向量应该是d=(-3,-1).
那么向量（-3,-1）和向量（3,1）有什么关系呢?答案是它们同在一条直线上,但是方向相反.所以向量（-3,-1）和向量（3,1）都是直线l0的方向向量,用哪个都可以.（这也说明了为什么课本里老是说“……的一个方向向量”,即直线的方向向量和法向量是有很多个的,不唯一.）
第二个问题：请解释为什么d=(b,-a)是直线l的一个方向向量
答：你们课本上是怎么证明的我不知道,下面的是我自己想的证明：
首先,直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
在直线ax+by=0上取一点（b,-a）,则向量（b,-a）与直线ax+by=0共线
所以向量（b,-a）是直线ax+by=0的一个方向向量
而直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行
所以向量（b,-a）是直线ax+by+c=0的一个方向向量

方向向量其实是与直线平行的一个向量,而法向量其实就是与直线垂直的一个向量,这样想就很明白了.
直线L0的方向向量为(3,1),我们知道向量(3,1)与L0是平行的,又因为L0与L的垂直关系,必然可以得到L0的方向向量(3,1)与L垂直,那么向量(3,1)明显就是直线L的一个法向量了.
●说说方向向量的具体定义:其实高中对方向向量和法向量的定义不太明确,毕竟很多法向量都是针对平面方程...

全部展开

方向向量其实是与直线平行的一个向量,而法向量其实就是与直线垂直的一个向量,这样想就很明白了.
直线L0的方向向量为(3,1),我们知道向量(3,1)与L0是平行的,又因为L0与L的垂直关系,必然可以得到L0的方向向量(3,1)与L垂直,那么向量(3,1)明显就是直线L的一个法向量了.
●说说方向向量的具体定义:其实高中对方向向量和法向量的定义不太明确,毕竟很多法向量都是针对平面方程来说的,但高中并不涉及到平面方程这一部分知识.我们只用记住Ax+By+C=0的法向量为(A,B)即可.那么方向向量是如何来求的呢.
这得从三维空间中来看,三维空间里的直线方程为:
(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p,其中(m,n,p)就是这个空间直线的方向向量
对于二维平面空间,z自然可以不要,那么标准的含方向向量的直线方程应该为:
(x-x0)/m=(y-y0)/n,其中(m,n)为方向向量,这样看是不是有点迷糊?我们继续分析.(注意下,x0,y0是直线上的已知点的横纵坐标)
我们令(x-x0)/m=(y-y0)/n=t,t为参数,那么
x=mt+x0;y=nt+y0.这样明白了吧,其实m,n就是直线参数方程的一个系数...
回到题目,ax+by+c=0的方向向量怎么求呢,根据上面的结论,令y=t(t为参数),那么可以得到这样一个参数方程:x=(-bt-c)/a,y=t,这样(-b/a,1)就是方向向量了,这个向量与(-b,a)显然平行,那么(-b,a)也是这个直线的方向向量了.
这样不就明白了么?

收起

向量的乘法，如果垂直的话方向向量和法量的乘积是0，所以3*1+(-3)*1=0