高数,数列极限证明题已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:Xn→a(n→∞)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/13 20:14:34
高数,数列极限证明题已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:Xn→a(n→∞)高数,数列极限证明题已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:X
高数,数列极限证明题已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:Xn→a(n→∞)
高数,数列极限证明题
已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:Xn→a(n→∞)
高数,数列极限证明题已知:任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn.求证:Xn→a(n→∞)
任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有数列Xn的有限多项,设这有限项的最大下标是正整数N,则当n>N时,所有的Xn都在区间(a+ε,a-ε)内,即|Xn-a|<ε,所以Xn→a (n→∞)
不就是收敛半径的问题吗?
用反证法
假设Xn不收敛到a
则有:
存在ε0,任意N>0,存在n0>N,有|Xn0-a|>ε0
就即:存在n0>N,有Xn0不属于(a-ε0,a+ε0)
又有N的任意性,因此可得到一无穷数列(Xn子列):Xn0i,
皆有Xn0i不属于(a-ε0,a+ε0),i=1,2,…
与任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn矛盾
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用反证法
假设Xn不收敛到a
则有:
存在ε0,任意N>0,存在n0>N,有|Xn0-a|>ε0
就即:存在n0>N,有Xn0不属于(a-ε0,a+ε0)
又有N的任意性,因此可得到一无穷数列(Xn子列):Xn0i,
皆有Xn0i不属于(a-ε0,a+ε0),i=1,2,…
与任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn矛盾
故,Xn→a (n→∞)
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