如图,AB是直径,∠MCA=∠CBA (1)求证MN为切线 (2)过A作AD⊥MN,AB=6,BC=3,求S阴
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 04:18:35
如图,AB是直径,∠MCA=∠CBA (1)求证MN为切线 (2)过A作AD⊥MN,AB=6,BC=3,求S阴
如图,AB是直径,∠MCA=∠CBA (1)求证MN为切线 (2)过A作AD⊥MN,AB=6,BC=3,求S阴
如图,AB是直径,∠MCA=∠CBA (1)求证MN为切线 (2)过A作AD⊥MN,AB=6,BC=3,求S阴
(1) 证明：
∵ ∠MCA =∠CBA,弧AC所对的圆周角为∠CBA
∴ MN是圆的切线 （弦AC与MN所成的角是弦切角,它与弧AC所对的圆周角∠CBA 相等）
阴影部分的面积 S = △ACD - 扇形AEC = △ACD - 扇形OEC
∵ ⊙O 的直径AB = 6
∴ OA = OB = 3,∠ACB = 90° ,△ABC是直角三角形
又∵ BC = 3
∴ △OBC是等边三角形
∴ ∠OBC = 60°
∴ ∠BAC = 30°
根据勾股定理 AC² = (AB)² - (BC)² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27
∴ AC = 3√3
又∵ ∠MCA =∠CBA = 60°（已经证明）
∴ 在直角三角形DAC中,∠DAC = 30°
∴ DC = AC × sin30° = 3√3 × 0.5 = (3√3) / 2
AD = AC × cos30° = 3√3 × √3/2 = 9/2
∴ 直角三角形DAC的面积 = 1/2 AD×CD = 1/2 × 9/2 × (3√3) / 2 = (27/8)√3
∵ ∠BAC = 30°,∠DAC = 30°
∴ ∠DAB = ∠BAC + ∠DAC = 60°
∴ △AOE是等边三角形
∴ ∠EOC = 180° - ∠EOA - ∠COB = 180° - 60°- 60° = 60°
扇形OEC的面积 = 1/6 π r² = 1/6 × π × 3² = 3π/2
阴影部分的面积 S = △ACD - 扇形OEC = (27/8)√3 - 3π/2 = (27√3 - 3π) / 8
连接OE 连接OC △OBC等边三角形 △AOE等边三角形
S阴影=S△ADC-S扇形EOC（圆心角60°）
=【（27倍根号3）-12π】/8