如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=50°,M是此三角形内的一点,且∠MAC=10°,∠MCA=30°.求∠BMC.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 20:41:45
如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=50°,M是此三角形内的一点,且∠MAC=10°,∠MCA=30°.求∠BMC.
如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=50°,M是此三角形内的一点,且∠MAC=10°,∠MCA=30°.求∠BMC.
如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=50°,M是此三角形内的一点,且∠MAC=10°,∠MCA=30°.求∠BMC.
过B作BD⊥AC,交AC于D,延长CM交BD于E,连接AE
∵∠BAC=∠BCA=50
∴AB=BC,∠ABC=180- ∠BAC-∠BCA=80
∵BD⊥AC
∴BD垂直平分AC ∠CBD=∠ABD=∠ABC/2=40
∵E为BD上的点
∴EC=EA ∠EAC=∠MCA=30
∴∠EAM=∠EAC-∠MAC=30-10=20,∠BAE=∠BAC-∠EAC=50-30=20
∴∠EAE=∠BAM
∵∠EMA=∠MCA+∠MAC=30+10=40
∴∠EMA=∠ABD
∴∠MEA=180-∠EMA-∠EAM=180-40-20=120
∠BEA=180-∠ABD-∠BAE=180-40-20=120
∴△ABE≌△AME (ASA)
∴AB=AM
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=20+20=40
∴∠AMB=(180-∠BAM)/2=(180-40)/2=70
∵∠AMC=180-∠MCA-∠MAC=180-30-10=140
∴∠BMC=360-∠AMC-∠AMB=360-140-70=150
∠CMA=180°-∠ACM-∠AMC=180°-30°-10°=140°
∴AM/AC=sin∠ACM/sin∠AMC=sin30°/sin140°
而sin140°=sin40°,sin30°=1/2
∴AM/AC=1/2sin40°,分子分母同乘以cos40°,得
AM/AC=cos40°/(2sin40°cos40°)=sin50°/sin80°
而...
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∠CMA=180°-∠ACM-∠AMC=180°-30°-10°=140°
∴AM/AC=sin∠ACM/sin∠AMC=sin30°/sin140°
而sin140°=sin40°,sin30°=1/2
∴AM/AC=1/2sin40°,分子分母同乘以cos40°,得
AM/AC=cos40°/(2sin40°cos40°)=sin50°/sin80°
而AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC=sin50°/sin80°
即AM/AC=AB/AC,∴AM=AB
∴∠ABM=∠AMB,而∠BAM=50°-10°=40°
∴∠ABM=(180°-40°)/2=70°,∴∠CBM=80°-10°
即得∠BMC=180°-∠MCB-∠MBC=180°-20°-10°=150°
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