正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 14:06:46
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
不能通过简单的角边相等来证,只能通过求角为60或三边相等,并且繁简一样,都用到解斜三角形.下面是我的证明,仅作参考.
设正方形边长为a,
过E作EF垂直AB于F,EAB=角EBA,三角形EAB为等腰三角形,所以F为AB中点,
在RT△EAB中,AF=BF=a/2,
易求 cos15=√(1+cos30/2)=(√6+√2)/4,sin15=(√6-√2)/4
所以 AE=BE=AF / cos15=(√6-√2)*a/2
在三角形AED中,角DAE=90- EAB=75
cos75= sin15=(√6-√2)/4
由余弦定理有,
DE^2=AE^2+AD^2-2*AE*AD*cos75
=((√6-√2)*a/2)^2+a^2-2*(√6-√2)*a/2*a*(√6-√2)/4
=a^2(前后两个大项正好约掉,都不用展开了)
推出DE=a
同理 CE=a
由此 DC=DE= CE =a
三角形EDC为等边三角形.
用重合法:以DC为底,向内作正三角形⊿FDC,可知∠ADF=30°,又DF=AD, ∠DAF=∠DFA=75°,∠FAB=15°.同理,∠ABF=15°,∴F与E重合。
⊿DCE为正三角形。
在正方形内,∠EAB=∠EBA,可知AE=BE
AC=BD,∠EAC=∠EBD,可知⊿AEC=⊿BED,EC=ED
∴⊿CED为等边三角形
无法画图上去,上边左A右B,下边左C右D,E在正方形内。
换点,也是同理
可以得出AE=BE,角DAE=角=75度,从而得到三角形DAE全等于三角形CBE,所以DE=CE、角AED=角BEC,利用代数知识90-角DCE=角ECB,360度-150度-角DEC=两倍的角BEC,角ECB+角BEC=180-75度,2被角ECD+角DEC=180度。所以可得出角DEC=角CDE=60度,即证得!