已知数列{an}得前n项和为sn=an^2+bn(a,b为常数且a不等于0)求证数列{an}是等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 16:37:54
已知数列{an}得前n项和为sn=an^2+bn(a,b为常数且a不等于0)求证数列{an}是等差数列
已知数列{an}得前n项和为sn=an^2+bn(a,b为常数且a不等于0)求证数列{an}是等差数列
已知数列{an}得前n项和为sn=an^2+bn(a,b为常数且a不等于0)求证数列{an}是等差数列
sn=an^2+bn
s(n-1)=a(n-1)^2+b(n-1)
两式作差,由：
sn-s(n-1)=an
可证．
为了不和数列a 混淆，我们在这里把题目里的常数a b 记作A B
即 s(n)=An^2+Bn (1)
那么s(n-1)=A(n-1)^2+B(n-1) (2)
(1)-(2)得
s(n)-s(n-1)=A[n^2-(n-1)^2]+B
因为 s(n)-s(n-1)=a(n)
所以a(n)=A[n^2-(n-1)...
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为了不和数列a 混淆，我们在这里把题目里的常数a b 记作A B
即 s(n)=An^2+Bn (1)
那么s(n-1)=A(n-1)^2+B(n-1) (2)
(1)-(2)得
s(n)-s(n-1)=A[n^2-(n-1)^2]+B
因为 s(n)-s(n-1)=a(n)
所以a(n)=A[n^2-(n-1)^2]+B
=2An-A+B
所以a(n-1)=2A(n-1)-A+B
a(n)-a(n-1)=2A
所以是等差数列
收起
证明:
当n>=2时 S(n-1)=a(n-1)^2+b(n-1)
an=Sn-S(n-1)=a(2n-1)+b
a(n-1)=a(2a-3)+b
所以公差b=an-a(n-1)=2a(常)
当n=1时,a1=s1=a+b,
a2=s2-s1=3a+b,
此时公差b也等于2a
所以综合上叙得数列{an}是公差为2a的等差数列