在数列{An}中,已知A1=1,An=2Sn^2/(2Sn-1),(n>=2)求An
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 21:36:16
在数列{An}中,已知A1=1,An=2Sn^2/(2Sn-1),(n>=2)求An
在数列{An}中,已知A1=1,An=2Sn^2/(2Sn-1),(n>=2)求An
在数列{An}中,已知A1=1,An=2Sn^2/(2Sn-1),(n>=2)求An
An=2Sn^2/(2Sn-1),Sn=S(n-1)+An代入上式得
An=2(S(n-1)+An)^2/(2S(n-1)+An)-1),
2(S(n-1))^2+An(2S(n-1)+1)=0,
An=-2(S(n-1))^2/(2S(n-1)+1),又An=2Sn^2/(2Sn-1),故
-(S(n-1))^2/(2S(n-1)+1)=Sn^2/(2Sn-1),
(Sn-S(n-1))[SnS(n-1)+Sn+S(n-1)]=0
SnS(n-1)+Sn+S(n-1)=0
Sn/(Sn+1)=-S(n-1)/(S(n-1)+1)
S(n-1)/(S(n-1)+1)=-S(n-2)/(S(n-2)+1)
S(n-2)/(S(n-2)+1)=-S(n-3)/(S(n-3)+1)
...
S2/(S2+1)=-S1/(S1+1)
将上面所有式子相乘得
Sn/(Sn+1)=(-1)^(n-1)S1/(S1+1)=(-1)^(n-1)/2
Sn=((-1)^(n-1)/2)/(1-(-1)^(n-1)/2)=((-1)^(n-1))/(2-(-1)^(n-1))
S(n-1)=((-1)^(n-2))/(2-(-1)^(n-2))
上面两式相减得
An=Sn-S(n-1)=((-1)^(n-1))/(2-(-1)^(n-1))-((-1)^(n-2))/(2-(-1)^(n-2))
=(4/3))/((-1)^(n-1))
即An=(4/3))/((-1)^(n-1)).
此题关键是找出Sn项与Sn-1项之间的关系.
题目中已经给出了一个等式,还可以找出这样一个等式:An=Sn - Sn-1.两式联立可得:1/Sn -1/Sn-1=-2,即1/Sn=1/S1 + (-2)(n - 1),此处为等处数列通项公式,S1=A1=1,所以1/Sn=-2n + 3,Sn即为后者倒数.同理,写出Sn-1的表达式为:1/Sn-1=-2(n-1) + 3,由An=Sn -...
全部展开
此题关键是找出Sn项与Sn-1项之间的关系.
题目中已经给出了一个等式,还可以找出这样一个等式:An=Sn - Sn-1.两式联立可得:1/Sn -1/Sn-1=-2,即1/Sn=1/S1 + (-2)(n - 1),此处为等处数列通项公式,S1=A1=1,所以1/Sn=-2n + 3,Sn即为后者倒数.同理,写出Sn-1的表达式为:1/Sn-1=-2(n-1) + 3,由An=Sn - Sn-1=2/[(2n-3)(2n-5)]
收起
好久不做这样的题了，我记得关键是找到n和n-1项之间的关系，或者变化之后可以成为等差或者等比
不过实在记不住做法了
唉