设椭圆x²╱4+y²=1设不过原点0的直线l：y=kx+m（k不等于0）,与该椭圆交与P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,满足4k=k1+k2①求证：m²为定值,并求出此定值 ②求△OPQ面积的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:21:53
设椭圆x²╱4+y²=1设不过原点0的直线l：y=kx+m（k不等于0）,与该椭圆交与P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,满足4k=k1+k2①求证：m²为定值,并求出此定值 ②求△OPQ面积的取值范围
设椭圆x²╱4+y²=1
设不过原点0的直线l：y=kx+m（k不等于0）,与该椭圆交与P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,满足4k=k1+k2
①求证：m²为定值,并求出此定值 ②求△OPQ面积的取值范围
设椭圆x²╱4+y²=1设不过原点0的直线l：y=kx+m（k不等于0）,与该椭圆交与P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,满足4k=k1+k2①求证：m²为定值,并求出此定值 ②求△OPQ面积的取值范围
(1)通过4k=k1+k2找出m^2
x^2/4+y^2=1与y=kx+m联立
得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0
x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)
P(x1,y1),Q(x2,y2)
k1=y1/x1=(kx1+m)/x1=k + (m/x1)
k2=y2/x2=(kx2+m)/x2=k + (m/x2)
k1+k2=2k+m/x1+m/x2 =2k+m(x1+x2)/(x1*x2)
代入x1+x2,x1*x2
k1+k2=2k-(8km^2)/(4m^2-4)=-8k/(4m^2-4)
4k=k1+k2=-8k/(4m^2-4)
得到m^2=1/2
(2)利用三角形面积公式
S=1/2 * |PQ| *d
|PQ|=√(1+k^2)|x1-x2|
=√(1+k^2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)√[16(4k^2+1-m^2)/(1+4k^2)^2]
=4[√(1+k^2)√(4k^2+1-1/2) ]/(1+4k^2)
d=|m|/√(1+k^2)
S=1/2 * |PQ| *d
=1/2*4[√(1+k^2)√(4k^2+1-1/2) ]/(1+4k^2)*|m|/√(1+k^2)
=2|m| √(4k^2+1-1/2) /(1+4k^2)
=√2*√(4k^2+1/2) /(1+4k^2)
令t=√(4k^2+1/2),
S=√2*t/(t^2+1/2)=√2/[ t+1/(2t)]
当t=1/(2t),2t^2=1,4k^2+1/2=1/2,k=0
[ t+1/(2t)]max=2*√(1/2)=√2
S