数学归纳法证不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:23:34
数学归纳法证不等式
数学归纳法证不等式
数学归纳法证不等式
看图片
一楼很强大
放缩的题竟然能用数学归纳法做
我来告诉你我的方法
因为均值不等式有（x+y）（1/x+1/y）>=4
所以1/x+1/y>=4/（x+y）
联系这道题
我们可以设
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
以上两式把下面式子的顺序倒过来
S=...
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一楼很强大
放缩的题竟然能用数学归纳法做
我来告诉你我的方法
因为均值不等式有（x+y）（1/x+1/y）>=4
所以1/x+1/y>=4/（x+y）
联系这道题
我们可以设
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
以上两式把下面式子的顺序倒过来
S=1/2n+1/(2n-1)+...+1/(n+1)
S=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
所以上下两项分母的和为3n+2由1/x+1/y>=4/（x+y） 所以>=4/3n+2 因为有n项
所以2S>=4n/（3n+2）
所以S>2n/（3n+2)现在只要证明
2n/（3n+1）>13/24
即证9n>13 因为n>1所以成立
随便罗嗦一句，你如果好好的研究不等式的证明，你会发现。如果证明
f（n）>g(n)一般是数学归纳法，证明f（n）>常数
一定是放缩
收起
设n=k时它成立, 当n=k+1时
1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k)+1/(2k+2)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + 1/(2k+2) - 1/(k+1)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + (-1/2)(1/(k+1))
因为k>0 所以 (-1/2)(1...
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设n=k时它成立, 当n=k+1时
1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k)+1/(2k+2)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + 1/(2k+2) - 1/(k+1)
= 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) + (-1/2)(1/(k+1))
因为k>0 所以 (-1/2)(1/(k+1))<0
所以
> 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k) > 13/24 成立.
当n=2时, 1/(2+1)+1/(2+2)=1/3+1/4 = 7/12 > 13/24.
所以当n为大于1的自然数的时候, 不等式成立
收起
由于题目给条件n>1，
所以可先设n=2求左边，
因为n=2所以前2项求出的值大于13/24，那么左=右等式成立。
然后假设n=k（k大于1）等式成立，则
1/k+1+1/k+2+...+1/2k>13/24
那么当n=k+1时：
1/k+2+1/k+3+...+1/2k+1/2k+1>13/24+1/2k+1化简就可以了