如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当M点运动到BC的中点时,求CN的长?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 20:37:44
如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当M点运动到BC的中点时,求CN的长?
如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当M点运动到BC的中点时,求CN的长?
如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当M点运动到BC的中点时,求CN的长?
由题意,可知
△ABM∽△MCN
所以
AB/BM=MC/CN
4/2=2/CN
CN=1
Rt△ABM∽Rt△MCN
M点运动到BC的中点时
BM=1/2AB
CN=1/2BM=1/4AB=1
相似，abm和mcn对应相似，因为ab=2bm，mc=2nc,所以cn=1/2cm=1/4ab=1
当M点运动到BC的中点时，由勾股定理可求AM。设CN为x，则，DN=（4-x），再由勾股定理求MN和AN。又AM与MN垂直，所以再再由勾股定理，AN^2=AM^2+MN^2，最后可算出x的值，即CN的长
设CN=X,当M运动到BC的中点时,BM=CM=2,AM^2=AB^2+BM^2=16+4=20,
MN^2=CM^2+CN^2=4+X^2,则AN^2=AM^2+MN^2=20+4+X^2=24+X^2;同时
AN^2=AD^2+ND^2=16+(4-X)^2则24+X^2=16+(4-X)^2解得X=1
因为AM⊥MN所以∠AMN=90°所以∠AMB＋∠NMC＝90°因为ABCD为正方形，所以∠B=90°,∠C=90°,所以∠BAM＋∠BMA=90°,∠NMC＋∠MNC=90°所以在△ABM与△MCN中，∠BAM＝∠CMN,∠AMB＝∠MNC,所以△ABM∽△MCN所以AB/MC=BM/CN因为M是BC中点所以BM=MC=2，所以CN=1
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=4,∠B=∠C=90°
∴∠BAM+∠AMB=90°
∵点M是BC的中点
∴MB=MC=1/2BC=2
∵AM⊥MN
∴∠AMN=90°
∴∠AMB+∠CMN=90°
∴∠BAM=∠CMN
又∵∠B=∠C
∴△ABM~△MCN
∴AB/MC=BM/CN即4/2=2/CN
∴CN=1