2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下（100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 19:53:53
2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下（100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
2010全国初中数学联赛最后一道
若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下（100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由
当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,但是最后结果一个m都没有求出来,
1楼的那个是怎么变来的哦 我觉得你没对啊
是y=x+根号下（100-mx)的最大值，变不过来啊
还有我是用方差来表示最大值的
2010全国初中数学联赛最后一道若m为正整数,是否存在使得关于x的函数y=x+根号下（100-mx)的最大值为整数,若存在求出m,若不存在说明理由当时我做的时候,我用的是算2个数的方差带出y的最大值,
y=x+√(100-mx)
=-(100-mx)/m + √(100-mx) +100/m
y可以看成√(100-mx)的二次函数
当√(100-mx)=m/2时y取得最大值
y(max)=m/4+100/m=(m^2+400)/4m
首先4可以整除m^2+400
设m=2n
y(max)=(n^2+100)/2n
那么2又可以整除n^2+100
设n=2k
y(max)=(k^2+25)/k
所以k可以整除25
k=1,5或25
对应的m=4,20或100
√(100-mx)=m/2
0≤√(100-mx)
∵y=x+√（100－mx） （1） （用√表示根号）
∴100－mx≥0
∵m为正整数
∴x≤100／m
将（1）移项得 y－x＝√（100－mx）
两边平方并整理关于x的一元二次方程得
x²＋（m－2y）x＋y²－100＝0 （2）
有条件知（2）必有解
全部展开
∵y=x+√（100－mx） （1） （用√表示根号）
∴100－mx≥0
∵m为正整数
∴x≤100／m
将（1）移项得 y－x＝√（100－mx）
两边平方并整理关于x的一元二次方程得
x²＋（m－2y）x＋y²－100＝0 （2）
有条件知（2）必有解
∴△＝（m－2y）²－4×（y²一100）≥0 （3）
整理（3）成关于m的不等式得
m²－4ym＋400≥0 （4）
要使（4）恒成立，只有关于m的方程m²－4ym＋400＝0有
两个相同的解或无解时才成立，
也即只有△＝（－4y）²－4×400≤0 （5）才成立
解（5）得y≤－10或y≥10
当y≤－10时，y有最大值－10
将y＝－10代入方程m²－4ym＋400＝0解之得m=－20
这与已知m为正整数矛盾
所以y最大值不能为－10
当y≥10时，y有最小值10
将y＝10代入方程m²－4ym＋400＝0解之得m=20（m为正整数）
将y＝10，m＝20代入（2）解之得x＝0（x≤100／m＝100／20＝5）
因此不存在关于x的函数的最大值为整数。
存在关于x的函数的最小值10，此时m为20
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