2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答

2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答
2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答

2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ,则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 , ,则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数,且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根,则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中,已知 ,D,E分别是边AB,AC上的点,且 , , ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ,将其各位数字之和记为 ,如 , ,则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A,B两点,与 轴正方向交于点C．已知 , ,则 ．
3．在等腰直角△ABC中,AB＝BC＝5,P是△ABC内一点,且PA＝ ,PC＝5,则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中,AB＝AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN,BA＝BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ＝∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ,Q .
（1）如果 都是整数,且 ,求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B,与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数,求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上,故 , ,
解得 , .
（1）由 知 解得 .
又 为整数,所以 , , .
(2) 设 是方程的两个整数根,且 .
由根与系数的关系可得 , ,消去 ,得 ,
两边同时乘以9,得 ,分解因式,得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数,所以后面三组解舍去,故 .
因此, , ,二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0）,点C的坐标为（0,2）,所以△ABC的面积为 .
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设 ,由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设 是大于2的质数,k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值．
解 由题意知,方程 的两根 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得 ,从而有
①
（1）若 ,则方程为 ,它有两个整数根 和 ．
（2）若 ,则 .
因为 为整数,如果 中至少有一个为整数,则 都是整数.
又因为 为质数,由①式知 或 ．
不妨设 ,则可设 （其中m为非零整数）,则由①式可得 ,
故 ,即 ．
又 ,所以 ,即
②
如果m为正整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
如果m为负整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
因此, 时,方程 不可能有整数根．
综上所述, ．