超难几何题.一个直角三角形,其中一条直角边为1997,且三边长皆为正整数,邱玲以直角边,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:01:07
超难几何题.一个直角三角形,其中一条直角边为1997,且三边长皆为正整数,邱玲以直角边,
超难几何题.
一个直角三角形,其中一条直角边为1997,且三边长皆为正整数,邱玲以直角边,
超难几何题.一个直角三角形,其中一条直角边为1997,且三边长皆为正整数,邱玲以直角边,
设直角边为X,斜边为Y,则：Y^2-X^2=1997^2 => (Y-X)(Y+X)=1997^2
现在是关键处：可以证明,1997是素数!
（证明很简单：从2—45都不能整除1997）
所以：1997^2 只能被分解为1*1997^2,从而：
Y-X=1,且Y+X=1997^2=3988009 .
解此简单的二元一次方程得：Y=1994005,X=1994004.
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对问题补充的回答：
如果不是1997,即不是素数,那就只有找出所有可能的因式分解方式,逐一求解了.
以1996为例,1996因式分解为：1996=2*2*499,那么
1996^2=2*2*2*2*499*499,可以分解为：
1*3984016
2*1992008
4*996004
8*498002
16*249001
998*3992
1996*1996
共7组解.逐一求解,并舍去非正整数的解,可得：
X=996003,Y=996005
X=498000,Y=498004
X=248997,Y=249005
X=1497,Y=2495
顺便说一下,如果不是1996而是另一个数N,也可同样处理.假设N可以有n个互素的因子V1,V2,...,Vn,那么可能的组合最多为：
(C（0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n,n))/2种,
根据公式,(C（0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n,n))/2=2^(n-1)
以1996为例,n=6就最多有2^（6-1）=32种.
事实上,如果在V1~Vn中有重复的（比如上例,有4个2,2个499.而由于N=M^2,从而肯定有重复的,这里只是粗略估计,就不再仔细考虑了）,那么组合数还要少.上例中就只有7种可能.
gaoshou luoshangd
设另一直角边是a,斜边是c,
有a^2+1997^2=c^2,
即c^2-a^2=1997^2
(c+a)(c-a)=1*1997^2（1997是质数）
所以c-a=1,c+a=1997^2=3988009,
a=1994004