函数的性质（全）要全面的啊!西部的妹妹留!

函数的性质（全）要全面的啊!西部的妹妹留!
函数的性质（全）
要全面的啊!
西部的妹妹留!

函数的性质（全）要全面的啊!西部的妹妹留!
1、函数的定义
（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么把y叫做x的函数,x叫做自变量,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.y是x 的函数,可以记作y ＝f（x）（f表示对应法则）.
（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函数,记作y ＝f（x）,其中x  A ,yB.原象的集合A叫做函数f（x）的定义域,象的集合C叫做函数f（x）的值域,显然C B.
注意
①由函数的近代定义可知,函数是数集间的映射.
②对应法则f是联系x、y的纽带,是函数的核心,常用一个解析式表示,但在不少问题中,对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示,而是采用其他方式（如数表或图象等）.定义域（或原象集合）是自变量的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,它和对应法则是函数的两个重要因素.定义域不同而解析式相同的函数,应看作是两个不同的函数.
③f（a）与f（x）的涵义是不同的,f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值,它是一个常量,而f（x）是x的函数,是表示对应关系的.
2、函数的性质
（1）函数的单调性
设y ＝f（x）是给定区间上的一个函数, 是给定区间上的任意两个值,且x1

第四节 函数及其性质
王俊邦
[基本内容]
1、函数的定义
（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x 的函数，可以记作y ＝f（x）（f表示对应法则）。
（2...

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第四节 函数及其性质
王俊邦
[基本内容]
1、函数的定义
（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x 的函数，可以记作y ＝f（x）（f表示对应法则）。
（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作y ＝f（x），其中。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然。
注意
①由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。
②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。
③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。
2、函数的性质
（1）函数的单调性
设y ＝f（x）是给定区间上的一个函数，是给定区间上的任意两个值，且，如果都有，则称f（x）在这个区间上是增函数（也称f（x）在这个区间上单调递增）；如果都有，则称f（x）在这个区间上是减函数（也称f（x）在这个区间上单调递减）。
如果函数y ＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间。
（2）函数的奇偶性
①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
3、反函数
（1）逆映射：设是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A的原象a和它对应；这样所得的映射叫做映射的逆映射，记作：。
注：映射也是映射的逆映射，而且 也是一一映射（从B到A上的一一映射）。
（2）如果确定函数y ＝f（x）的映射是f（x）的定义域A到值域B上的一一映射，那么这个映射的逆映射所确定的函数叫做函数y ＝f（x）的反函数。
函数y ＝f（x）的定义域、值域分别是函数的值域、定义域。
函数y ＝f（x）的反函数，习惯上写成。
一般地，求函数y ＝f（x）的反函数的方法是先由y ＝f（x）解出，然后把改写成。
函数y ＝f（x）和其反函数的图象关于直线y＝x对称。
[例题分析]
例1、判断下列各题中的两个函数是否相同。
（1）； （2）；
（3）；
（4）。
（1）不同。因为f（x）的定义域是x≠0且x≠－1，而g（x）的定义域是x≠－1，由于定义域不同，故f（x）和g（x）是不同的函数。
（2）不同。因为这两个函数的对应法则不同。
对应法则f ：
对应法则g ：。
（3）相同。因为这两个函数的定义域和对应法则都相同，
（4）不同，虽然这两个函数的解析式相同，但给出的定义域不同。
例2、求下列各函数的定义域：
（1）；（2）；（3）。
（1）由。 （2）全体实数。
（3）解不等式组，得0 < x < 1。
例3、（1）已知，求
（2）已知，求。
（1）∵，∴，
∵，
∴。
（2）。
例4、已知f（x）为一次函数，且f [f（x）] = 9x－1，求f（x）的解析式。
设，则，即，
∴，∴，
故所求函数为或。
例5、求下列函数的值域：（1）；（2）。
（1）把看成是关于x的方程，整理得
，∵x，y是实数，∴当y＝1时，x＝0。当时，，故函数的值域是。
（2）
。故函数的值域是y ≤1。
注：配方法是二次函数求值域的主要方法。如果y ＝ f（x）能化成关于x的一元二次方程，则常用根的判别式法求函数的值域。
例6、求函数的值域。
。因为，∴y的值域是。
例7、设f（x）为偶函数，f（x）在（0，＋∞）内单调减少，求证f（x）在（－∞，0）内单调增加。
证明：设，则，∵，f（x）在（0，＋∞）内单调减少，∴，∵f（x）为偶函数，∴。由于在（－∞，0）内的任意性，根据增函数的定义，可知f（x）在（－∞，0）内单调增加。
例8、判断下列函数的奇偶性：
（l）y＝2x；（2）y＝2x－3；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
（9）；（10）。
偶函数：（3），（4），（5），（9）； 奇函数：（1），（6），（7）；
非奇非偶函数：（2），（8），（10）。
注：的定义域为x≠5的一切实数，所以其图象显然不关于原点或y轴对称。故f（x）为非奇非偶函数。
例9、函数f（x）的定义域为x≠0的一切实数，且满足，判断函数f（x）的奇偶性。
原等式中以代替x，得。解方程组：
，得f（x）＝0，（x≠0）。所以f（x）既是奇函数， 又是偶函数。
例10、求函数的反函数及这个反函数的值域。
从解出x，得到，改写成。∵原来函数的定义域为x≥1，值域为y≥2，∴所求的反函数为：，（x≥2），这个反函数的值域为y≥1。
练习
1、选择题：
（1）下列各组函数中，为同一个函数的是（ ）。
（A）与y＝x－2；（B）与y＝x （a>0，a≠1）；
（C）与；（D）与y＝x－1。
（2）已知，那么f（2）的值是（ ）。
（A）e2；（B）2e；（C）；（D）2。
（3）已知函数f（x）的定义域是[1，2]，那么函数f（x2）的定义域是（ ）。
（A）[1，4]；（B）；（C）；（D）。
（4）已知是偶函数，那么函数是（ ）。
（A）奇函数；（B）偶函数；（C）既不是奇函数，也不是偶函数；
（D）结论不确定。
（5）若是奇函数，则是（ ）。
（A） 奇函数；（B）非奇非偶函数；（C）偶函数；
（D）既是奇函数又是偶函数。
（6）偶函数f（x）在[0，4]上单调递增、则下列关系或说法正确的是（ ）。
（A）；（B）；（C）；
（D）不能确定。
（7）下列哪一个函数是指定区间上的单调函数。
（A）； （B）；
（C）； （D）。
（8）下列互为反函数的一组函数是（ ）。
（A）； （B）；
（C）；（D）。
2、设函数f（x）满足条件：。
求证：（1）f（0）＝0；（2）f（－1）＝－a；
（3）为不等于0的整数）。
3、求函数的值域。
练习解答
1、（1）D；（2）C；（3）C；（4）A；（5）C；（6）C；（7）A；（8）D。
2、…① …②
（1）在①中，设x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0。
（2）由①得f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋ f（－1）。∴0＝a＋f（－1），
∴f（－1）＝－a。
（3）当n＞0时，（括号内为n个1的和）。
即，
当n＜0时，－n＞0，由于，，
∴。
注：在一般的函数问题中，常用0，±1等代入x和y等来证明等式。

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1．函数的单调性
从函数y=x2的图象(图2-7)看到：
图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+∞)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取x1，x2∈[0，+∞)，得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那么当x1＜x2时，有y1＜y2．这时我们就说函数y=x2在〔0，+∞)上是增函数．
图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间...

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1．函数的单调性
从函数y=x2的图象(图2-7)看到：
图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+∞)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取x1，x2∈[0，+∞)，得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那么当x1＜x2时，有y1＜y2．这时我们就说函数y=x2在〔0，+∞)上是增函数．
图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间(-∞，0)上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1，x2∈(-∞，0)，得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那么当x1＜x2时，有y1＞y2．这时我们就说函数y=x2在(-∞，0)上是减函数．
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(图2-9(1))；
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(图 2-9(2))．
函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数．例如函数y=x2(图2-7)，当x∈[0，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数．
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
2．函数的奇偶性
观察图2-7可以看到，函数y=x2的图象关于y轴对称，从函数y=f(x)=x2 本身来说，其特点是当自变量取一对相反数时，函数y取同一值．
例如，
f(-2)=4，f(2)=4，即f(-2)=f(2)；f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；

……
由于(-x)2=x2，所以f(-x)=f(x)．
以上情况，反映在图象上就是，如果点(x，y)是函数y=x2的图象上任一点，那么，与它关于y轴对称的点(-x，y)也在函数y=x2的图象上．这时，我们说函数y=x2是偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
例如，函数f(x)=x2+1，f(x)=x4-2等都是偶函数．
观察图2-8可以看到，函数y=x3的图象关于原点对称，从函数y=x3本身来说，其特点是当自变量取一对相反数时，函数值也得到一对相反数．
例如，
f(-2)=-8，f(2)=8， 即f(-2)=-f(2)；

f(-1)=-1，f(1)=1， 即f(-1)=-f(1)；
……
由于(-x)3=-x3，所以f(-x)=-f(x)．
以上情况，反映在图象上就是，如果点(x，y)是函数y=x3的图象上的任一点，那么，与它关于原点对称的点(-x，-y)也在函数y=x3的图象上．这时，我们说函数y=x3是奇函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
(3)周期性
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期

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