直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2，必两交点。能否用几何方法解：OM的模乘ON的模乘cosθ，θ怎么求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:28:05
直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2，必两交点。能否用几何方法解：OM的模乘ON的模乘cosθ，θ怎么求
直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积
直线在y轴的截距是5/4〈2，必两交点。能否用几何方法解：OM的模乘ON的模乘cosθ，θ怎么求
直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2，必两交点。能否用几何方法解：OM的模乘ON的模乘cosθ，θ怎么求
联解求交点M、N:
3x+4y-5=0 (1)
X^2+Y^2=4 (2)
由(1)是得：y=(5-3x)/4.
将y 代入(2),得：x^2+[(5-3x)/4]^2=4.
x^2+(25-30x+9x^2)/16=4.
16x^2+25-30x+9x^2 -64=0.
25x^2-30x-39=0.
25(x-3/5)^2-9-39=0.
(x-3/5)^2=48/25.
x-3/5=±4√3/5,
x1=3/5+4√3/5；
x2=3/5-4√3/5.
将x1,x2代入y=(5-3x)/4式中,化简后,得：
y1=4/5-3√3/5；
y2=4/5+3√3/5.
∴得直线与圆的两个交点：M(3/5+4√3/5,4/5-3√3/5),N(3/5-4√3/5,4/5+3√3/5).
向量OM=(3/5+4√3/5,4/5-3√3/5),向量ON=(3/5-4√3/5,4/5+3√3/5).
向量OM.ON=((3/5+4√3/5)*(3/5-4√3/5)+(4/5-3√＜＜＜3/5)*(4/5+3√3/5)).
=(3/5)^2-(4√3/5)^2+(4/5)^2-(3√3/5)^2.
=9/25-48/25+16/25-27/25.
=1-3.
=-2.
∴向量OM.向量ON=-2.
正因为直线3x+4y-5=0在坐标轴上的截距＜2,才会与圆有两个交点M,N.
可以应用向量很容易求出OM与ON的夹角θ；
|向量OM|=√[(3/5+4√3/5)^2+(4/5-3√3/5)^2]=2；
|向量ON|=√[(3/5-4√3/5)^2+(4/5+3√3/5)^2]=2.【化简过程请你自己做一下】
由二向量的夹角公式,得：
cosθ=向量OM.向量ON/|OM||ON|.
=-2/2*2.
=-1/2.
∴θ=120°.
∵|OM|=|ON|,△MON为等腰三角形,再求出|MN|,也好求出θ,自己做吧.